Un sistema lineal en tres variables
En esta videolección, hablamos de sistemas lineales en tres variables . Estas son colecciones de tres ecuaciones lineales en tres variables. Cada una de nuestras ecuaciones tendrá tres variables, pero ninguna de las variables tendrá exponentes con ellas.
Las variables más comunes que veremos son las letras x , y y z . Aunque tenemos tres variables, es posible que cada ecuación no tenga las tres enumeradas. Si no vemos una variable en la lista, notamos que esa variable tiene un coeficiente de cero.
Cuando grafique cada ecuación, terminará con un plano plano. Cuando los tres planos se cruzan en un punto, decimos que el sistema tiene una solución que podemos resolver. Te encontrarás con estos sistemas a medida que avances en tus matemáticas. Intentemos resolver uno de ellos usando lo que llamamos método de eliminación:
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Vemos que tenemos un sistema lineal de tres ecuaciones en tres variables. Vemos que la primera ecuación tiene tres variables, pero la segunda y la tercera no. En la segunda ecuación, el coeficiente vinculado a z es un 0; en la tercera ecuación, el coeficiente vinculado con la y es un 0.
Método de eliminación
El método de eliminación implica combinar dos de nuestras ecuaciones para intentar eliminar al menos una de nuestras variables. Para combinar dos ecuaciones, es posible que tengamos que multiplicar una ecuación por un número en particular de modo que cuando sumamos las dos ecuaciones, al menos una de las variables desaparezca. Veamos cómo funciona esto con nuestro sistema.
Miramos nuestras ecuaciones y vemos que la primera y la segunda ecuación tienen una x . Puedo multiplicar la segunda ecuación por -1 y luego agregar eso a la primera ecuación para que desaparezcan las x s. Multiplicar la segunda ecuación por -1 me da – x – 2 y = -5. Añadiendo esto a la primera ecuación, me da – y + z = 1. Está bien, hasta ahora todo bien. Tengo una nueva ecuación sin la x en ella. Ahora tengo un total de cuatro ecuaciones con las que puedo trabajar.
Avancemos. Esta vez puedo multiplicar mi primera ecuación por -2 y luego agregarla a la tercera ecuación para deshacerme de la x nuevamente. Multiplicar la primera ecuación por -2 me da -2 x – 2 y – 2 z = -12. Sumar esto a la tercera ecuación me da -2 y – z = -7. Esta es otra nueva ecuación. Ahora tengo cinco ecuaciones totales que puedo usar.
Ahora veo que mis ecuaciones cuarta y quinta tienen una y y una z . Los miro y veo que puedo agregarlos de inmediato para deshacerme de la z . Entonces, agregándolos obtengo -3 y = -6. ¡Oye, mira eso! ¡Puedo resolver fácilmente esta nueva ecuación!
Terminando el problema
Para terminar el problema, primero resolveremos nuestra última ecuación, la -3 y = -6. Luego, usaremos esta respuesta para ayudarnos a encontrar el resto. Resolvemos -3 y = -6 dividiendo por -3 para obtener y = 2. ¡Bien!
Puedo conectar esto en la cuarta o quinta ecuación para encontrar mi z . La cuarta ecuación parece más fácil, así que elijo esta para conectar mi y . Obtengo -2 + z = 1. Lo resuelvo sumando 2 a ambos lados. Obtengo z = 3. ¡Impresionante!
Ahora puedo terminar el problema conectando tanto y como z en la primera ecuación: x + 2 + 3 = 6. Restando 2 y 3 de ambos lados, obtengo x = 1. He resuelto mi sistema lineal en tres variables ! Mi respuesta es x = 1, y = 2 y z = 3. También puedo escribir esto como (1, 2, 3).
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Los sistemas lineales en tres variables son colecciones de tres ecuaciones lineales en tres variables. En tal sistema, todas las ecuaciones tendrán tres variables. Si no se ve una variable, entonces esa variable tiene un coeficiente de cero. Las variables más comunes que verá son x , y y z .
Para resolver tal sistema, podemos utilizar el método de eliminación. El método de eliminación implica combinar pares de ecuaciones para que podamos eliminar al menos una de las variables. Para combinar ecuaciones, es posible que tengamos que multiplicar una ecuación por un número de modo que cuando se agregue a la segunda, al menos una de las variables desaparezca.
Seguimos repitiendo este proceso hasta que llegamos al punto en el que tenemos una ecuación con una sola variable. Luego, resolvemos esa ecuación para esa variable. Usamos esta respuesta y la sustituimos en otra ecuación que podemos resolver después de sustituir la respuesta. Luego, usamos nuestras dos respuestas para encontrar la tercera y última respuesta. Nuestra respuesta final tendrá tres números: uno para x , uno para y y uno para z .
Los resultados del aprendizaje
Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:
- Describe un sistema lineal en tres variables.
- Explica cómo resolver este sistema usando el método de eliminación.
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