Cómo utilizar las sumas de Riemann para calcular integrales

Cuándo usar una suma de Riemann

Acaba de encontrar la mejor propiedad de la historia. Se encuentra en el lago Heaviside, está justo al lado de una carretera (pero no una carretera enorme) y está justo al lado de un parque. Tu mamá piensa que esta área es un poco cara para ti, pero piensas en la cantidad de tierra que tienes. Honestamente, no tienes idea de cuánta tierra es. Intentemos calcularlo. Digamos que la carretera es el eje x , y su propiedad se extiende hasta el borde del agua en la línea f (x) . El límite con el parque está en x = a , y en x = b el agua llega a la carretera (que es el otro extremo de su propiedad).

Usar una suma de Riemann para calcular el área terrestre

Sumas de Riemann

Entonces, ¿cómo podrías encontrar el área? Volviendo a lo que aprendiste en cálculo, sabes que el área de esta tierra será la integral de x = a hasta x = b de f (x) dx . En este caso, a es su límite inferior (aquí es donde su terreno se encuentra con el parque de al lado), b es el límite superior (donde su terreno, el agua y la carretera se encuentran) yf (x) es el integrando (el litoral de su propiedad). ¿Cómo aplicamos esto a su propiedad? Su línea de costa coincide con f (x) = 50 – x ^ 2 + 5 x . Sabes que necesitas integrar esto desde donde tu propiedad se encuentra con el parque (x = 0) y donde su propiedad se encuentra con la carretera y la costa ( x = 10). Esta es la integral de 0 a 10 de (50 – x ^ 2 + 5 x ) dx . ¿Cómo calculamos esto? Una forma es utilizar un enfoque de suma de Riemann. Recuerde que la integral de x = a a x = b de f (x) dx = el límite cuando delta x va a 0 de la suma de k = 1 a k = n de f (x sub k ) delta x sub k. Esto es solo sumar el área de múltiples rectángulos. Usemos una rebanada, un rectángulo, para estimar su área. Si hago eso, entonces n = 1, y puedo usar la suma de Riemann como la suma de k = 1 a 1 de (50 – ( x sub k ) ^ 2 + 5 x sub k ) delta x sub k .

En este caso, mi x sub k será el valor de x en algún lugar de la tarta. Si solo tengo una porción, puedo escribir esta suma como (50 – ( x sub 1) ^ 2 + 5 x sub 1) delta x sub 1. ¿Dónde está x sub 1? Usemos una suma de Riemann del lado izquierdo y digamos que x sub 1 está en el lado izquierdo de mi porción. Ese valor es x = 0. Introduzcamos 0 para x = 1. Si hago eso, termino con (50 – (0) ^ 2 + 5 (0)) delta x . Entonces, delta xes el ancho de este corte, y el ancho es 10 – 0. Ese es el lado derecho del corte menos el lado izquierdo del corte. Si simplifico todo, obtengo 50 * 10 para hacer que el área de este corte sea 500. Si uso una suma de Riemann con un corte, mi área se estima en 500. Escribamos esto en una tabla y realicemos un seguimiento Para luego:

Usando dos rebanadas

¿Qué pasa si utilizo dos rebanadas? Ahora mi suma de Riemann va de k = 1 a k = 2. Mi función sigue siendo la misma y todavía tengo el término delta x . Si escribo la suma, tengo (50 – ( x sub 1) ^ 2 + 5 x sub 1) delta x sub 1. Esta es el área de mi primer corte. Voy a agregar esa área al área de mi segundo segmento, que es (50 – ( x sub 2) ^ 2 + 5 x 2) delta x sub 2. Ahora, x sub 2 es un valor en algún lugar de este segundo rebanada. Como estoy usando una suma de Riemann del lado izquierdo, elegiré x sub 1 para estar en el lado izquierdo de mi primer corte yxsub 2 para estar en el lado izquierdo de mi segundo segmento. También voy a hacer que estas rebanadas tengan el mismo grosor, por lo que cada una tendrá un ancho de 5. Conectando 0 para x sub 1 y 5 para x sub 2, puedo resolver esto para 50 (5) + 50 (5 ), lo que nos da un área total de 500.

Usando una suma de Riemann del lado izquierdo

Pongamos eso en nuestra mesa:

Todavía no estoy convencido de que dos cortes nos den nuestra área real. Tomemos algunos más.

Calcular varias rebanadas

Digamos n = 5. Voy a cortar mi área en cinco rebanadas y voy a estimar el área de cada una de esas rebanadas. Aquí, mi suma de Riemann va de k = 1 a k = 5 (para 5 rebanadas), mi función sigue siendo la misma y voy a hacer que delta x tenga el mismo ancho para cada una de estas rebanadas. Eso significa que cada delta x va a ser igual a 2. De nuevo, voy a usar una suma de Riemann del lado izquierdo, por lo que el valor de x para cada segmento estará en el lado izquierdo de cada segmento. Esto significa que voy a usar x sub 1 como 0 para el lado izquierdo de esta primera porción, x sub 2 va a ser 2, x sub 3 va a ser 4, xsub 4 va a ser 6 y x sub 5 será 8. Si esto no tiene sentido, piénselo de esta manera: Hay cinco rebanadas que tienen que sumar diez puntos. Cada rebanada tiene que superar los 2 para hacer esto. Si escribo esos números, 2, 4, 6, 8 y 10, puedo ver que x sub 4 está en x = 6. Enchufo mi x sub 1, x sub 2, x sub 3, x sub 4 y x sub 5 en mi suma. Puedo resolver las matemáticas y obtengo que el área es (50 * 2) + (56 * 2) + (54 * 2) + (44 * 2) + (26 * 2). Entiendo que mi área total es aproximadamente 460.

Lo pondré en mi mesa:

Entonces, antes, se estimaba que el área era de 500, pero ahora es de 460. ¿Qué sucede si tomo aún más rebanadas?

Rebanadas infinitas

Digamos n = 10. Si tomo diez cortes y quiero que todos tengan el mismo ancho, sé que cada corte tendrá un ancho de 1. En este punto, podría escribir los diez términos, pero esto se vuelve realmente tedioso. En la práctica, escribiría un programa de computadora para resolver esto por mí, pero eso está mucho más allá del alcance de este curso. Supongamos que puede hacer eso. Solo asegúrate de saber cómo seguir.

Así que tengo mi suma de k = 1 a k = 10 de mi función (50 – ( x sub k ) ^ 2 + 5 x sub k ) delta x sub k . Mi delta x siempre será 1. Saquemos el término k = 1 para que podamos escribir la suma como (50 – ( x sub 1) ^ 2 + 5 x sub 1) (1) + (50 – ( x sub k ) ^ 2) + 5 x sub k ) delta x sub k (que es la suma de k = 2 a k= 10). Veamos este primer término, (50 – ( x sub 1) ^ 2 + 5 x sub 1) (1). Esto es como lo que teníamos antes. Estoy haciendo una suma de Riemann del lado izquierdo, y dado que este es un corte para zurdos, sé que x sub 1 va a ser igual a 0. Puedo conectar eso y obtengo que el primer término es igual a 50 ; el área de la primera rebanada es 50. Una vez que tenga eso, voy a mirar el área de la segunda rebanada, así que saquemos k = 2 de esta suma. Ahora tengo 50 + (50 – ( x sub 2) ^ 2 + 5 x sub 2) (1). El 1 es mi delta x . Luego agregaremos todo eso a la suma de k = 3 a k = 10 de (50 – ( x subk ) ^ 2 + 5 x sub k ) delta x sub k . ¿Cuál es x sub 2 para este segundo segmento?

Bueno x sub 2 = 1 porque estoy tomando una suma de Riemann para zurdos. Cómo sabemos esto? Sabemos esto porque el grosor de la primera rebanada era igual a 1, y la primera rebanada comenzaba en 0, entonces 0 + 1 = 1. Ahí es donde comienza la segunda rebanada. Si conecto 1 para x sub 2, entonces todo este segundo segmento tiene un área de 54. Ahora tengo el primer segmento y el segundo segmento (aquí es donde es útil tener una computadora). Si sigue este patrón, encontrará que las áreas son 50 + 54 + 56 + 56 + 54 + 50 + 44 + 36 + 26 + 14. ¿Por qué no le da una oportunidad a esto? Encuentre el área del octavo rebanada. La octava porción tendrá x sub 8. ¿Qué es x sub 8? Bueno, xsub 8 = 0 + 7 donde 7 es el grosor de todas las rebanadas anteriores sumadas. Si inserta x sub 8 = 7 en el octavo término, debería terminar con 36 para su área. Puede adoptar el mismo enfoque para todos sus cortes. Una vez que hagas eso, puedes sumar las áreas para todas tus rebanadas y terminas con 440.

Agreguemos eso a nuestra tabla:

Así que el área pasó de 500 a 460 a 440. Si tomamos 20 rebanadas, lo cual no haré aquí por ti, pero puedes probarlo, obtendría un área de 428,75. Si tomo 50 rebanadas, obtendré un área de 421,6.

Recuerde, la integral, que es el área bajo la curva, desde x = a hasta x = b de f (x) dx = el límite cuando delta x (el tamaño de mi porción) va a 0 de la suma de k = 1 a k = n de f (x sub k ) delta x sub k , es decir, cuando el número de cortes llega al infinito. Entonces como naumenta, ¿está mi área realmente acercándose a algún límite? Si grafica el área según lo encontrado por el número de cortes en mi suma de Riemann, veré que en realidad podría estar acercándose a algún límite a medida que el número de cortes llega al infinito. De hecho, si tomo aún más rebanadas, digamos, mil rebanadas, en esta pequeña región, encuentro que mi área es aproximadamente 417. Esto está cerca del área exacta.

Resumen de la lección

Ahora puedo regresar y decirle a mi mamá que el área de mi propiedad recién adquirida en el borde del lago Heaviside es de aproximadamente 417 metros cuadrados. Encontramos esto usando el método de suma de Riemann para calcular una integral definida. Es decir, sabemos que la integral de x = a a x = b de f (x) dx = el límite cuando delta x va a 0 de la suma de k = 1 a k = n de f (x sub k ) delta x sub k .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador