Comprender las series aritméticas en álgebra

Secuencia aritmética

Las secuencias aritméticas , o cadenas de números donde cada número es el número anterior más una constante, se pueden encontrar a nuestro alrededor. Simplemente comience a contar y estará diciendo los números de una secuencia aritmética muy famosa, ¡nuestros números! Va 1, 2, 3 y así sucesivamente. ¿Observa cómo cada número es el número anterior más uno? Esta diferencia entre nuestros números se llama diferencia común . Escribimos una secuencia aritmética con llaves y comas entre los números. Entonces, nuestros números de conteo se pueden escribir {1, 2, 3,. . .} con los tres puntos al final diciéndonos que la secuencia continúa indefinidamente.

Serie aritmética

Si sumamos algunos o todos los números en nuestra secuencia, entonces tenemos lo que se llama una serie aritmética . En otras palabras, una serie aritmética es la suma de los números en nuestra secuencia aritmética. Te encontrarás con problemas de matemáticas que te pedirán que encuentres la suma de una secuencia aritmética a medida que continúes con tus lecciones de matemáticas. Sigue mirando y te mostraré una fórmula que puedes usar para encontrar esta suma. Pero antes de que podamos hacer eso, necesitamos encontrar la diferencia común.

Encontrar la diferencia común

Encontrar nuestra diferencia común es un proceso sencillo. Lo que haces es tomar cualquier par de números sucesivos y restar el primero del segundo. Ahora, toma otro par y resta el primero del segundo para ver si también tiene la misma diferencia. Si obtiene la misma diferencia, entonces ha encontrado su diferencia común. Cada secuencia aritmética tendrá su propia diferencia común.

Por ejemplo, la secuencia {4, 6, 8, 10,. . .} es una secuencia aritmética porque tiene una diferencia común de dos, porque cada par de números sucesivos tiene una diferencia de dos entre ellos. Tenemos 6 – 4 = 2. También tenemos 8 – 6 = 2. Diez menos ocho también son dos.

Mira la secuencia {2, 5, 8, 11,. . .}. ¿Tiene esta secuencia una diferencia común? Restamos 5 – 2, obtenemos 3. ¿Cuánto es 8 menos 5? ¿También es 3? Si. Bueno; hasta ahora tan bueno. Finalmente, ¿cuánto es 11 – 8? Oh bien, también es 3. Entonces, nuestra diferencia común es 3.

Suma de series aritméticas

Ahora que sabemos cómo encontrar nuestra diferencia común, podemos ir y encontrar la suma de nuestra serie aritmética. Podemos usar la fórmula n / 2 (2 a ( n – 1) d ).

La n representa el número de términos de nuestra serie que estamos sumando. Si queremos sumar los primeros 10 números, por ejemplo, entonces n = 10. Nuestro problema nos dirá cuántos números estamos sumando. La a representa el término inicial de nuestra secuencia y la d es la diferencia común. Entonces, para nuestra secuencia {4, 6, 8, 10,. . .} de antes, nuestra a es 4 y nuestra d es 2. Si queremos encontrar la suma de los primeros cinco términos, entonces n = 5. Sigamos adelante y calculemos esto. Conectamos todos nuestros valores y evaluamos para ver qué obtenemos.

Obtenemos una respuesta de 40.

Intentemos encontrar los primeros diez términos de la secuencia {5, 10, 15, 20,. . .}. Primero, antes de usar la fórmula, queremos ver si en realidad se trata de una secuencia aritmética. Para hacer esto, buscamos ver si tenemos una diferencia común. Si no lo hacemos, entonces no tenemos una secuencia aritmética, y podemos detenernos ahí mismo. Restamos 10 – 5. Obtenemos 5. Ahora, ¿cuánto es 15 – 10 y 20 – 15? ¿También son iguales a 5? Si es así, entonces esta es una secuencia aritmética y podemos seguir adelante con nuestra fórmula. Si no lo son, nos detenemos y decimos que esta secuencia no es una secuencia aritmética y, por lo tanto, no tiene una serie aritmética. En este caso, se trata de una secuencia aritmética. La diferencia común aquí es 5. Ahora podemos usar nuestra fórmula para encontrar nuestra serie aritmética para los primeros diez términos, para n – 10.es 5 ya que es nuestro primer número. Nuestra d es 5 ya que esa es nuestra diferencia común. Introducimos estos números en nuestra fórmula y evaluamos.

Nuestra respuesta es 275 y hemos terminado.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Hemos aprendido que las secuencias aritméticas son cadenas de números donde cada número es el número anterior más una constante. La diferencia común es la diferencia entre los números. Si sumamos algunos o todos los números en nuestra secuencia, entonces tenemos lo que se llama una serie aritmética . Para encontrar la suma de la serie aritmética, primero necesitamos encontrar nuestra diferencia común.

Siempre que nos encontramos con un problema de este tipo, nuestro primer objetivo es ver si nuestra secuencia realmente tiene una diferencia común y es en realidad una secuencia aritmética. Para encontrar la diferencia común, verificamos si cada par de números sucesivos nos da la misma respuesta cuando restamos el primero del segundo. Si lo hacen, entonces esta diferencia es nuestra diferencia común. Una vez que hemos encontrado nuestra diferencia común, la etiquetamos con d , nuestro primer número de nuestra secuencia con a y el número de términos que estamos sumando con n . Luego usamos la fórmula n / 2 (2 a ( n – 1) d ) para obtener nuestra respuesta.

Los resultados del aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder:

• Definir sucesiones y series aritméticas
• Identificar la diferencia común de una secuencia aritmética.
• Calcular la suma de una serie aritmética

Rodrigo Ricardo Editor y fundador