Comprender y representar gráficamente la función inversa

Funciones inversas

Si te digo que tengo una función que mapea el número de pies en alguna distancia al número de pulgadas en esa distancia, podrías decirme que la función es y = f (x) donde la entrada x es el número de pies y la salida y es el número de pulgadas. Incluso podrías decirme eso

y = f (x) = 12 x ,

porque hay 12 pulgadas en cada pie. Pero, ¿y si te dijera que quiero una función que haga exactamente lo contrario? ¿Qué sucede si quiero que una función tome el número de pulgadas como entrada y devuelva el número de pies como salida? ¿Podría decirme cuál es esta función?

Las funciones inversas son exactamente eso. Si tenemos una función

y = f (x) ,

entonces la función inversa se escribe como

y = f -1 ( x ),

y hace exactamente lo contrario de la función. ¿Qué sucede si pones una función y su inversa en una función compuesta como f -1 ( f (x) )? Primero, evaluamos la función interna, f (x) , luego evaluaremos la función externa f -1 ( x ).

Echemos un vistazo a un ejemplo. Digamos que comenzamos con 4 pies. Bueno, nuestra función es f (x) = 12 x porque hay 12 pulgadas en cada pie. Si conectamos 4 pies para comenzar, entonces

f (4) = 12 * 4 = 48 pulgadas

Ahora, si tomamos la función inversa, y la función inversa va a ser

f -1 ( x ) = x (1/12)

Entonces, si tomamos 48 pulgadas, entonces nuestra función inversa,

f -1 (48) = 48/12 = 4 pies

De acuerdo, es posible que pueda encontrar f (x) y f -1 ( x ) basándose solo en su comprensión de pulgadas y pies, pero ¿cómo lo hace en general?

Cinco pasos para invertir una función

1. Escriba su función en términos de x e y : y = f (x) .
2. Intercambiar la x y Y variables: x = f (y) .
3. Resuelva para y en función de x .
4. Establezca y = f -1 ( x ).
5. Verifique la función compuesta: f -1 ( f (x) ).

Ejemplos

Gráfica de f (x) = 3x – 6 y su inversa

Siguiendo estos pasos, digamos que tenemos una función f (x) = 3 ( x – 1) + 2.

Vamos a escribir esto en términos de x e y :

y = 3 ( x – 1) + 2

A continuación, vamos intercambio de la X y Y las variables, por lo que vamos a escribir esto como:

x = 3 ( y – 1) + 2

Este puede ser un paso confuso si no tiene cuidado, pero en el fondo, todo lo que está haciendo es poner x en todas partes donde vea y y poner y en todas partes donde vea x . Luego, resolverá y en función de x . Entonces voy a restar 2 de ambos lados:

x – 2 = 3 ( y – 1),

divide ambos lados por 3:

( x – 2) / 3 = y – 1

y agregue 1 a ambos lados y termino con:

y = 1 + ( x – 2) / 3

Voy a llamar a lo que está en el lado derecho mi función inversa:

f -1 ( x ) = 1 + ( x -2) / 3

Finalmente, voy a verificar mi respuesta, así que voy a encontrar

f -1 de ( f (x) )

Para hacer esto, voy a escribir

f (x) = 3 ( x -1) + 2

Voy a conectar eso como entrada para mi función inversa, así que

f -1 ( x ) = 1 + ((3 ( x -1) + 2) – 2) / 3

Tengo mi entrada aquí, así que solo voy a resolver y simplificar para

f -1 ( x ) = 1 + (3 ( x -1)) / 3: f -1 ( x ) = 1 + x – 1

Y efectivamente, f -1 ( f (x) ) = x , que es exactamente lo que esperaríamos.

Entonces, ¿qué pasa con una función como

y = redondo ( x )?

Recuerda que round ( x ) simplemente redondea nuestra entrada al entero más cercano : round (4.2) = 4. Sin embargo, round (4.8) = 5 y round (5.1) = 5. En este caso, ¿crees que puedes encontrar un función inversa que puede tomar 5 y dar su 5.1 o 4.8? No, round ( x ) es una función que no tiene inversa.

Graficar funciones inversas

Gráfico de la función compleja final y su inversa

¿Qué pasa con la función

f (x) = x 3 + 3 x

Puedo escribir en términos de x e y :

y = x 3 + 3 x

Luego puedo intercambiar las variables:

x = y 3 + 3 y

Entonces puedo resolverlo para y , pero eso no es obvio para mí de inmediato. ¿Hay otra manera? Regresemos y veamos una función más sencilla, como

f (x) = 3 x – 6

Termino con un gráfico que se ve así, una línea simple. Ahora voy a graficar la inversa, que es:

f -1 ( x ) = ( x + 6) / 3

Entonces, la inversa es esta línea azul; se parece mucho a la función original, excepto que está reflejada. Y en realidad se refleja en el ángulo de 45 grados, que es la línea x = y . Si pudiera doblar este papel por la mitad, vería que la función y su inverso se convierten en la misma línea. También puedo usar esto en funciones mucho más complejas. Digamos que estaba viendo una función como esta. Si dibujo la línea de 45 grados y la reflejo, entonces puedo tener una idea bastante clara de cómo se ve esa función inversa.

Resumen de la lección

La función inversa deshará la función. Eso significa que la función inversa de la función te devolverá lo que comenzaste. Pero no todas las funciones tendrán inversas. Por ejemplo, y = round ( x ) no tiene inverso. Puede encontrar la función inversa con nuestro proceso de cinco pasos. Si grafica una función y su inversa, son reflejos de 45 grados entre sí. Esa es una manera fácil de encontrar la inversa o tener una idea de cómo se ve la función inversa para funciones realmente complejas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador