Conjugado complejo: Números, funciones y ejemplos

¿Qué es un conjugado?

Antes de que definamos conjugados complejos y ejemplos completos, primero debe comprender los conjugados y los números complejos. En matemáticas, un conjugado se forma cambiando el signo entre dos términos en un binomio. Por ejemplo, el conjugado del binomio x – y es x + y . Estos dos binomios son conjugados entre sí.

Número complejo

Un número complejo es un número que tiene una parte real y una imaginaria. Los números reales contienen todos los números racionales (por ejemplo, los números enteros 0 y 7, el entero -5 y la fracción 2/3) y todos los números irracionales (por ejemplo, pi y raíz cuadrada de 3). La raíz cuadrada de un número negativo no existe dentro del sistema de números reales. Por lo tanto, los matemáticos expandieron los sistemas de números y crearon la unidad imaginaria i , que se define como la raíz cuadrada de -1. Esto nos permite escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo y resolver problemas que necesitan la raíz cuadrada de un número negativo. Observe que si cuadramos la unidad imaginaria, obtenemos -1. En otras palabras, i ^ 2 = -1.

La forma estándar de un número complejo es a + bi donde a y b son números reales. La letra a representa la parte real del número complejo y el término bi representa la parte imaginaria del número complejo. Aquí hay un ejemplo de un número complejo: 8 + 3 i . 8 es la parte real del número y 3 i es la parte imaginaria.

Definición de conjugado complejo

Ahora combinemos las definiciones anteriores. Un conjugado complejo se forma cambiando el signo entre dos términos en un número complejo. Veamos un ejemplo: 4 – 7 i y 4 + 7 i . Estos números complejos son un par de conjugados complejos. La parte real (el número 4) en cada número complejo es la misma, pero las partes imaginarias (7 i ) tienen signos opuestos.

Productos de conjugados complejos

Multipliquemos y simplifiquemos el siguiente par de conjugados complejos:

(3 – 5 yo ) (3 + 5 yo )

Utilice el método FOIL (que significa primero, exterior, interior, último) para obtener 9 + 15 i – 15i – 25 i ^ 2
Combine términos semejantes para obtener 9 – 25 i ^ 2
Sustituya -1 por i ^ 2 para obtener 9 – 25 (-1)
Simplifica para obtener 9 + 25 = 34

Observe que los términos 15 i y -15 i se cancelan y que i ^ 2 se cambia a -1. Por lo tanto, hemos eliminado las partes imaginarias del par original de conjugados complejos y nos queda un número real; en este caso un número entero. Esto siempre ocurrirá cuando multiplicamos un par de conjugados complejos. El producto de un par de conjugados complejos es siempre un número real.

División de números complejos

Los conjugados complejos pueden ser una herramienta útil al simplificar expresiones con números complejos. Por ejemplo, multiplicar un número complejo por su conjugado es muy útil al simplificar ciertas fracciones.

Consideremos la siguiente fracción: (3-4 i ) / (1 + i )

Esta fracción no está simplificada porque hay una parte imaginaria en el denominador. Una parte imaginaria en el numerador está bien, pero no en el denominador. Necesitamos deshacernos de la i en el denominador. Una razón de esta regla es que las fracciones suelen ser más fáciles de sumar y restar cuando el denominador no es un número complejo.

Ahora sabemos que podríamos multiplicar el denominador por su conjugado para deshacernos de la i . Sin embargo, eso cambiaría el valor de la fracción. Pero también debemos saber que cuando multiplicas el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número o expresión, obtenemos una fracción que es equivalente a la fracción original. Por ejemplo, comencemos con la fracción 1/2. Luego, multiplica el numerador y el denominador por 3: (1 x 3) / (2 x 3) = 3/6. Terminamos con una fracción que equivale a 1/2.

Por lo tanto, en nuestro problema original, también debemos multiplicar el numerador por el conjugado del denominador.

Figura 1

Después de completar la multiplicación y combinar términos semejantes, terminaremos con esta expresión:

Figura 2

Ahora podemos reemplazar i ^ 2 con -1 y simplificar:

(3-7 i + 4 (-1)) / (1 – (-1)) = (3-7 i – 4) / (1 + 1) = (-1 – 7 i ) / 2

Ya no hay partes imaginarias en el denominador, y esto es lo que queremos. (Nota: asegúrese de tener cuidado con los dobles negativos al simplificar).

Conjugados complejos como soluciones de funciones cuadráticas

Quizás recuerdes de tus clases de álgebra que una ecuación cuadrática a veces no se cruza con el eje x . Cuando esto sucede, las soluciones de la ecuación cuadrática son números complejos. Por lo general, calcula este tipo de soluciones utilizando la fórmula cuadrática. Bueno, las soluciones complejas de una función cuadrática que tiene números reales como coeficientes siempre ocurren en pares conjugados complejos.

Por ejemplo, si le dicen que una función cuadrática con números reales como coeficientes tiene una solución de -2 + i , entonces -2 – i también debe ser una solución. Completemos un ejemplo: una ecuación cuadrática con números reales como coeficientes tiene 5 – 2 i como solución. Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

Si 5 – 2 i es una solución de la ecuación cuadrática, entonces 5 + 2 i debe ser la otra solución. Ahora podemos escribir la ecuación en forma de intersección o factorizada: y = ( x – (5 – 2 i )) ( x – (5 + 2 i ))

Necesitamos deshacernos de los paréntesis internos en cada factor y obtener y = ( x – 5 + 2 i ) ( x – 5 – 2 i )

Si completamos la multiplicación, obtenemos lo siguiente y = x ^ 2 – 5 x – 2 xi – 5 x + 25 + 10 i + 2 xi – 10 i – 4 i ^ 2

Luego, cambie i ^ 2 a -1 para que -4 i ^ 2 se convierta en -4 (-1) y sea igual a +4: y = x ^ 2-5 x – 2 xi – 5 x + 25 + 10 i + 2 xi – 10 i + 4

Ahora podemos combinar términos semejantes (algunos términos se cancelan entre sí) y obtener la siguiente ecuación cuadrática: y = x ^ 2-10 x + 29.

Resumen de la lección

Los conjugados complejos son un concepto simple pero son valiosos al simplificar algunos tipos de fracciones. Un par de conjugados complejos se forma cambiando el signo entre dos términos en un número complejo. Para crear un conjugado de un número complejo, simplemente reescríbalo y cambie el signo de la parte imaginaria

Algunas otras cosas para recordar incluyen:

• Un número complejo es un número que tiene una parte imaginaria.
• El producto de un par de conjugados complejos es siempre un número real.
• Una parte imaginaria en el numerador de una fracción está bien, pero no en el denominador.
• Las soluciones complejas de una función cuadrática que tiene números reales como coeficientes siempre ocurren en pares conjugados complejos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador