Un decimal repetido
Si va de compras, entonces está muy familiarizado con los números decimales. Los números decimales son nuestros números con un punto decimal. Cuando está comprando, ve números decimales a su alrededor. Tu juego favorito puede tener un precio de $ 24,99. ¡Es un número decimal!
Si cocina u hornea, entonces está familiarizado con fracciones como 1/3 y 1/4. Como sabes, las fracciones y los números decimales están relacionados entre sí. Para convertir una fracción en decimal, todo lo que tenemos que hacer es dividir el numerador de la fracción por su denominador. 1/4 se convierte en 0,25. Es un buen decimal que podemos escribir fácilmente.
Pero, ¿qué pasa con 1/3? ¿En qué tipo de número decimal se convierte eso? Siguiendo adelante con nuestra división, obtenemos 0.3333…. Obtenemos un decimal que sigue repitiendo una serie de números. A este tipo de número decimal lo llamamos decimal periódico .
En este caso, la serie repetida de números es 3. Recuerda que para convertir un decimal en una fracción, escribe el número después del punto decimal en el numerador y pone un 1 en el denominador seguido de ceros. El número de ceros que pones en el denominador será igual al número de dígitos que tienes en el numerador. Entonces, para el decimal 0.25, lo escribiría como 25/100. Luego, puede simplificar esta fracción a 1/4.
Si bien sabe cómo convertir un número decimal que termina en una fracción, no está seguro acerca de la repetición de decimales. ¿Cómo se hace para convertirlos en fracciones? En realidad, el proceso es muy diferente al que conoce. Pero veremos que no es tan difícil siempre que sigas el mismo proceso cada vez. Por lo tanto, ponte tu límite de pensamiento, ya que el resto de esta lección requiere solo un poco de músculo cerebral.
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Escribir dos ecuaciones
Intentemos convertir el decimal periódico 0.3333… para ver qué obtenemos. El proceso de conversión de decimales periódicos requiere escribir dos ecuaciones y luego restarlas para encontrar la fracción. Primero, diremos que x es igual a 0.333… Llamaremos a esta ecuación nuestra ecuación definitoria.
x = 0,333…
Para encontrar nuestra primera ecuación, primero notamos qué números se repiten. Es el número 3. Entonces, ahora necesitamos averiguar por qué multiplicar nuestra ecuación definitoria, x = 0.333…, para que nuestros números repetidos estén en el lado izquierdo del punto decimal. Si multiplicamos 0.333… por 10, entonces habremos movido el punto decimal un espacio a la derecha y tendremos nuestro número repetido a la izquierda del punto decimal. Debido a que estamos usando nuestra ecuación definitoria, también necesitamos multiplicar el lado izquierdo de nuestra ecuación por 10. Obtenemos 10 x = 3.333 … para nuestra primera ecuación.
Para encontrar nuestra segunda ecuación, nuevamente usamos nuestra ecuación definitoria. Esta vez, necesitamos manipularlo para que los números repetidos estén a la derecha del punto decimal. Al observar nuestra ecuación definitoria, vemos que nuestros números repetidos ya están a la derecha del punto decimal, por lo que no necesitamos cambiar nada. Nuestra segunda ecuación es x = 0.333….
Encontrar la fracción
Ahora que tenemos nuestras dos ecuaciones, ahora las restamos entre sí. Obtenemos:
Cómo resolver ecuaciones de dos pasos con fracciones
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¿Ves cómo simplemente restamos los dos lados uno del otro en ambos lados de la ecuación? Ahora podemos seguir adelante y resolver esta ecuación para x . Esto nos dará nuestra fracción.
9 x = 3
x = 3/9
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Lo que se simplifica a:
x = 1/3
Resolvimos nuestra ecuación para x combinando primero términos semejantes y luego realizando operaciones que nos dieron nuestra x por sí sola. Luego simplificamos nuestra respuesta para encontrar que nuestro decimal convertido es una fracción de 1/3. ¡Y hemos terminado!
Ejemplo
Veamos otro ejemplo.
1.0242424…
Mirando este número decimal, vemos que comienza con un 1, el punto decimal, un 0, y luego sigue repitiendo el 24. Entonces nuestro número que se repite es 24. Primero escribimos una ecuación definitoria de x = 1.0242424….
Para encontrar nuestra primera ecuación, manipulamos nuestra ecuación definitoria para que nuestro número repetido esté a la izquierda del punto decimal. Queremos mover el decimal tres espacios a la derecha para que el 24 quede a la izquierda del punto decimal. Para hacer esto, necesitamos multiplicar por 1,000. Entonces nuestra primera ecuación es 1,000 x = 1024.2424….
Para encontrar nuestra segunda ecuación, necesitamos manipular la ecuación definitoria de modo que el 24 esté directamente a la derecha del punto decimal. Mirando nuestro decimal, vemos que tenemos un 0 antes de los primeros 24. Entonces, necesitamos mover el punto decimal un espacio a la derecha. Necesitamos multiplicar por 10. Nuestra segunda ecuación entonces es 10 x = 10.2424….
Ahora, podemos continuar y restar nuestras dos ecuaciones.
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Resolviendo para x , obtenemos lo siguiente:
990 x = 1014
x = 1014/990
Lo que se simplifica a:
x = 169/165
Nuestro decimal periódico 1.02424 … se convierte en la fracción 169/165. ¡Hemos terminado!
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Los números decimales son nuestros números con un punto decimal. Un decimal periódico es un decimal que sigue repitiendo una serie de números. Para convertir un decimal periódico en una fracción, primero escribimos una ecuación definitoria donde x es igual al decimal periódico. Luego manipulamos esta ecuación para obtener dos ecuaciones que restamos entre sí para encontrar nuestra fracción.
La primera ecuación da como resultado que nuestros números repetidos estén en el lado izquierdo del punto decimal. La segunda ecuación da como resultado que nuestros números repetidos estén directamente a la derecha del punto decimal. Multiplicamos nuestra ecuación definitoria por una cantidad correspondiente, ya sea 10, 100, 1,000, etc. para obtener el resultado deseado. Luego restamos la segunda ecuación de la primera y luego resolvemos x para encontrar nuestra fracción.
Los resultados del aprendizaje
Asegúrese de poder completar estos objetivos una vez que haya visto la lección:
- Identificar un decimal periódico
- Convertir un decimal periódico en una fracción
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