¿Cuál es el rango de una función? – Definición y ejemplos

Funciones, entradas y salidas

Antes de llegar al rango de una función, revisemos rápidamente las funciones y sus entradas y salidas. Decir que ‘a es una función de b’ es lo mismo que decir que ‘a está determinada por b’. Por ejemplo, considere un menú de bebidas en un restaurante de comida rápida. Suponga que una bebida pequeña cuesta $ 1.50, una bebida mediana cuesta $ 2.50 y una bebida grande cuesta $ 3.50. Tenga en cuenta que el precio de la bebida está determinado por el tamaño de la bebida. Por lo tanto, el precio de una bebida es función del tamaño.

Una función puede ser pensado como una regla que asigna un conjunto de entradas a un conjunto de salidas. En nuestro ejemplo, las entradas serían el tamaño de la bebida y las salidas serían el precio. Por lo tanto, nuestras entradas son {pequeñas, medianas, grandes} y nuestras salidas son {$ 1,50, $ 2,50, $ 3,50}.

Regla de función

En una función, es imperativo que cada entrada se asigne a una sola salida. La razón de esto es que si una entrada fuera asignada a dos salidas diferentes, entonces dada la entrada, no podríamos determinar la salida. Dada una entrada, debemos poder determinar la salida. Por tanto, cada entrada de una función tiene solo una salida.

Una función se puede representar de diferentes formas. Podemos usar palabras para representar una función, como hicimos en nuestro ejemplo de menú de bebidas. También podemos usar una ecuación, una gráfica o una tabla para representar una función.

Diferentes representaciones de una función

Definición del rango de una función

Como dijimos, las funciones tienen entradas y salidas. Las entradas son lo que ponemos en la función y las salidas son las que salen. Llamamos al conjunto de salidas de una función el rango de una función. Por ejemplo, considere la función definida por la regla de que tomamos una entrada y la elevamos a la tercera potencia. Esto se puede representar en forma de ecuación como y = x ^ 3 , y cuando a esta función se le dan valores de entrada de {-2, -1, 0, 1, 2}, podemos encontrar las salidas correspondientes conectando esas entradas para ‘ x ‘en la ecuación.

Por ejemplo, si ingresamos -2, tenemos y = (-2) ^ 3 = -8 , entonces cuando la entrada es -2, la salida es -8 y -8 está en nuestro rango. Cuando encontramos cada una de las salidas correspondientes a nuestras entradas, tenemos nuestro rango. En nuestro ejemplo, el rango es {-8, -1, 0, 1, 8}, porque estas son las salidas correspondientes a -2, -1, 0, 1 y 2 respectivamente.

Encontrar el rango de una función

Para encontrar el rango de una función, simplemente necesitamos encontrar las salidas de las funciones, según sus entradas. Como mencionamos, las funciones se pueden representar de diferentes maneras. Veamos algunos ejemplos diferentes de cómo encontrar el rango de una función para diferentes representaciones de una función.

Primero, consideremos nuestro ejemplo de menú de bebidas inicial. Describimos esta función usando palabras. La regla de la función asigna una bebida pequeña a $ 1,50, una bebida mediana a $ 2,50 y una bebida grande a $ 3,50. Las entradas son el tamaño de la bebida y las salidas son el precio de la bebida. El rango de esta función es el conjunto de todas las salidas. Por lo tanto, el rango para esta función es el conjunto de todas las salidas, o {$ 1.50, $ 2.50, $ 3.50}.

2. Considere la siguiente función representada en la tabla.

Por definición, el rango es el conjunto de todas las salidas de una función, por lo que para encontrar el rango, simplemente enumeramos las salidas {-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}.

3.Observe este gráfico:

Ejemplo

La función representada por este gráfico tiene sus valores de x como entradas y sus valores de y como salidas. Es decir, dado un valor de x, podemos determinar el valor de y correspondiente mirando la gráfica. Por lo tanto, el rango de esta función consiste en todos los valores y donde se define la función (aquí es donde el gráfico tiene un valor y, o los valores y donde hay una imagen). Podemos ver que la gráfica toma valores de y de 1 a 4. Por lo tanto, el rango de esta función consta de todos los números del 1 al 4, incluidos 1 y 4.

4. Por último, veamos la función representada por la ecuación y = x ^ 2 . Las entradas de esta función consisten en todos los números reales. Esta función toma una entrada y la eleva al cuadrado para dar la salida. Observe que cuando elevamos un número al cuadrado, siempre terminamos con un número positivo. Por tanto, nuestro rango estará formado por todos los números reales positivos. También contendrá el número 0, porque si ingresamos 0, obtenemos 0 como salida. Esto también se puede observar al mirar la gráfica de y = x ^ 2 .

Gráfica de y = x ^ 2

Observe que la gráfica tiene una imagen para todos los valores de y mayores o iguales a cero. Por lo tanto, el rango consta de todos los números reales mayores o iguales a cero.

Resumen de la lección

El rango de una función es el conjunto de todas las salidas de esa función. Para encontrar el rango de una función, simplemente encontramos las salidas de la función. Es útil conocer el rango de una función, porque esto nos permite saber qué valores saldrán de la función y qué esperar. Esto nos permite predecir cómo se comportarán ciertos fenómenos representados por funciones. Como podemos ver, saber cuál es el rango de una función y cómo encontrar ese rango es extremadamente útil.

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Rodrigo Ricardo Editor y fundador