Divisibilidad
Suponga que usted y cuatro de sus amigos compran un billete de lotería con un premio ganador de $ 1000. Bajo y he aquí, terminas ganando, por lo que debes dividir los $ 1000 entre los cinco. Para calcular la toma de cada persona, divide 1000 entre 5.
1000/5 = 200
Cada uno de ustedes recibe una buena cantidad en dólares de $ 200. Esto se debe a que 5 se divide en 1000 de manera uniforme. Matemáticamente hablando, diríamos que 1000 es divisible por 5 o que 5 divide 1000.
En general, si dividimos un número, a , por un número, b , y obtenemos un número entero, m , entonces decimos que a es divisible por bo que b divide a . Es decir,
- Si un / b = m o un = b * m , en donde m es un número entero, a continuación, una es divisible por b o b divide a .
Esta definición de divisibilidad también se aplica a las expresiones matemáticas. Si una expresión matemática A es divisible por un número b , entonces A = b * m , donde m es un número entero.
Tendencias actuales en la educación matemática
Este hecho, junto con la inducción matemática, resulta sumamente útil en el proceso de demostrar la divisibilidad. Espera, ¿matemático qué? La inducción matemática es un método de prueba que podemos usar para probar la divisibilidad. Echemos un vistazo a esta técnica.
Inducción matemática
La inducción matemática es una técnica de prueba que se basa en el siguiente hecho:
- En un conjunto bien ordenado (o un conjunto que tiene un primer elemento y los elementos del conjunto están ordenados, como los números naturales), si una propiedad es verdadera para n y n + 1, donde n es cualquier elemento del conjunto , entonces es cierto para todos los elementos del conjunto.
El proceso de probar declaraciones a través de inducción matemática tiene tres pasos:
- Paso base: demuestre que el enunciado es verdadero para el primer elemento del conjunto
- Suponga que el enunciado es verdadero para un elemento k en el conjunto
- Muestre que el enunciado es verdadero para el elemento k + 1 en el conjunto
Estos tres pasos mostrarán que una propiedad es verdadera para k , y k + 1, donde k es cualquier elemento de un conjunto, por lo que demuestra que la propiedad es verdadera para todos los elementos del conjunto.
Podemos usar la inducción matemática, junto con nuestros datos sobre la divisibilidad para demostrar que una expresión es divisible por un número de un conjunto bien ordenado. Lo que encontraremos es que el tercer paso es el más complicado, pero una vez que hayas practicado este proceso varias veces, se vuelve más fácil. Hablando de eso, ¡hagámoslo!
Ejemplos
Suponga que queremos mostrar que 9 n es divisible por 3, para todos los números naturales, n . Podemos usar la inducción matemática para hacer esto.
El primer paso (también llamado paso base) sería mostrar que 9 n es divisible por 3 para n = 1, ya que 1 es el primer número natural.
- 9 1 = 9 y 9 = 3 * 3. Dado que 9 1 = 3 * 3, y 3 es un número entero, nuestra definición de divisibilidad da que 9 1 es divisible por 3. Esto prueba nuestro paso base.
¡Eso no estuvo tan mal! ¡Vamos al siguiente paso!
El segundo paso es asumir que la afirmación es verdadera para un número natural k . Es decir, asumimos que 9 k es divisible por 3. Por lo tanto, según la definición de divisibilidad, tenemos que:
- 9 k = 3 * m , donde m es un número entero
Esta ecuación será útil en el paso 3.
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¿Aún conmigo? ¡Bueno! ¡Falta un paso!
El tercer y último paso es mostrar que 9 k +1 es divisible por 3. Usando la definición de divisibilidad, queremos mostrar que:
- 9 k +1 = 3 * j , donde j es un número entero
Empezaremos mirando la expresión 9 k +1 . Darse cuenta de:
- 9 k +1 = 9 ⋅ 9 k
Además, del paso 2 (nuestra suposición), tenemos que 9 k = 3 * m , donde m es un número entero. Por lo tanto, podemos sustituir 3 m por 9 k en la expresión y simplificar.
- 9 k + 1 = 9 ⋅ 9 k = 9 ⋅ 3 m = 3 * (9 m )
Ahora, como m es un número entero, 9 m es un número entero. j = 9 m , entonces 3 * (9 m ) = 3 j , donde j es un número entero. En conjunto, esto muestra que:
- 9 k +1 = 3 j , donde j es un número entero
¡Ah-ja! ¡Eso es exactamente lo que queríamos mostrar! Por lo tanto, por inducción matemática, hemos probado que 9 n es divisible por 3 para todos los números naturales, n .
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Esta imagen muestra cómo todos los pasos de la inducción matemática funcionan juntos.
Resumen de la lección
Si dividimos un número, a , por un número, b , y obtenemos un número entero, m , entonces podemos decir que a es divisible por b , o que b divide a . Es decir,
- Si un / b = m o un = b * m , en donde m es un número entero, a continuación, una es divisible por b o b divide una
Esta definición de divisibilidad también se aplica a las expresiones matemáticas. Entonces, si una expresión matemática A es divisible por un número b , entonces A = b * m , donde m es un número entero.
Cuando intentamos probar la divisibilidad de todos los elementos en un conjunto bien ordenado, donde un conjunto bien ordenado es un conjunto con un primer elemento y todos sus elementos están ordenados, podemos usar una técnica de prueba llamada inducción matemática . La inducción matemática consta de tres pasos:
- Paso base: demuestre que el enunciado es verdadero para el primer elemento del conjunto
- Suponga que el enunciado es verdadero para un elemento k en el conjunto
- Muestre que el enunciado es verdadero para el elemento k + 1 en el conjunto
Esta técnica de prueba es uno de esos procesos a los que cuesta acostumbrarse, así que sigue practicando, ¡y será más fácil! Después de todo, ¡la práctica hace al maestro!
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