Diferenciación de polinomios factorizados: regla y expansión del producto

Introducción a la regla del producto

Utilice la regla del producto para diferenciar funciones.

Imagina que estás caminando por funciones de diferenciación, como f (x) = sin ( x ). Cuando, puf! Ahora, f` (x) = cos ( x ). Cumples la siguiente función: f (x) = 4 x ^ 3 – poof – f` (x) = 12 x ^ 2. Finalmente, te encuentras con la función f (x) = x ( x ^ 2 + sin ( x )). Espere un segundo, ¿cómo diferencia esta función? Bueno, realmente no sabemos cómo multiplicar x por x ^ 2 + sin ( x ) y tomar la derivada de eso. Sin inmutarse, multiplica esto. Obtienes f (x) =x ^ 3 + x sin ( x ). Espere otro segundo: la derivada, f` (x) = d / dx ( x ^ 3 + x sin ( x )), que dividió y encontró f` (x) = 3 x ^ 2 + d / dx ( x pecado ( x )). Pero, ¿qué haces con este término x sin ( x )?

¿Cómo resuelves este tipo de problemas? Usamos la regla del producto . La regla del producto dice que si tienes una función, como y = uv , donde u y v son ambas funciones de x , entonces la derivada de y es y` = uv` + vu` .

Ejemplos de resolución utilizando la regla del producto

Usando nuestro ejemplo de sin ( x ) * x , sin ( x ) es como u y x es v . Entonces, la derivada de sin (x) es igual a u (sin ( x )), multiplicada por la derivada de v (la derivada de x , que sabemos que es 1) más v (que es x ), multiplicada por la derivada de u ( la derivada de sin ( x ) es cos ( x )). Terminarás con d / dx ( x sin ( x )) = sin ( x ) + x(cos ( x )).

Hagamos otro ejemplo. Digamos que y = (2 x – 4) (4 x + 4). Voy a llamar 2 x – 4 u , y voy a llamar 4 x + 4 v . Entonces y` = 2 (4 x + 4) + 4 (2 x – 4). Idealmente, simplificaría esto multiplicando todo.

Usando la regla del producto

Veamos otro ejemplo: f (x) = xe ^ x . Aquí, estoy multiplicando x por e ^ x . Entonces x es mi u y e ^ x es mi v . f` (x) = 1 ( e ^ x ) + ( e ^ x ) x . Esto me da f` (x) = e ^ x + xe ^ x .

Veamos otro ejemplo: f (x) = x ^ 2 (2 + x ). Entonces, mis dos funciones son x ^ 2 ( u ) y 2 + x ( v ). La derivada de esta función es entonces f` (x) = 2 x (2 + x ) + 1 ( x ^ 2). Puedo simplificar esto multiplicando y sumando términos semejantes: f (x) = 4 x + 2 x ^ 2 + x ^ 2 o f (x) = 4 x + 3 x ^ 2.

Hagamos otro ejemplo: y = x ^ 2 * cos ( x ). Entonces u es mi x ^ 2 y v es mi cos ( x ). Y y` = 2 x (cos x ) + (-sin ( x )) x ^ 2. Puedo simplificar esto a y` = 2 x cos ( x ) – x ^ 2 (sin ( x )).

Encontrar la derivada

Por último, ¿qué pasa si tienes una ecuación como y = ( x + x ^ 3) ^ 2? Puedo pensar en tres formas de resolver este problema si estás buscando la derivada de y . Primero, podría expandir esto. Es decir, podría hacer la multiplicación y deshacerse de todos los paréntesis. La segunda forma de resolver esto es usando la regla de la cadena , que se trata en una lección diferente.

Opciones para encontrar la derivada

La tercera forma es usando la regla del producto , donde su primera función es x + x ^ 3, y su segunda función también es x + x ^ 3. Si uso la regla del producto, mi u = x + x ^ 3, u` = 1 + 3 x ^ 2, v = x + x ^ 3 y v` = 1 + 3 x ^ 2. Multiplicando esto, obtengo y` = (1 + 3 x ^ 2) * ( x + x ^ 3) + (1 + 3 x ^ 2) * ( x + x^ 3). Dado que estos dos términos son iguales, puedo escribir esto como y` = 2 (1 + 3 x ^ 2) ( x + x ^ 3).

Resumen de la lección

Entonces, para revisar, la regla del producto es para diferenciar productos de funciones. Con y = uv , tanto u como v dependen de x . La derivada de y = uv es entonces y` = uv` + vu` .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador