Producto cruzado de dos vectores, fórmula y ejemplos

Escalares y Vectores

Antes de ahondar en las multiplicaciones con vectores conviene repasar qué es un vector. Para ello es mejor empezar con una idea más sencilla: la recta numérica.

Escalares

La recta numérica real es un conjunto de orden de números. Cualquier número en la recta numérica tiene números más grandes a su derecha y números más pequeños a su izquierda. Todos estos números que se pueden ubicar en una recta numérica se pueden llamar escalares. Los escalares tienen magnitud, que es su valor numérico.

Vectores

De hecho, puede tener más de una recta numérica. Suponga que tiene 2 rectas numéricas y las organiza para que sean perpendiculares entre sí y se crucen en 0. Así.

Ahora puede tener puntos en un plano, en lugar de puntos en una recta numérica. Cada punto se describe mediante dos coordenadas, la primera correspondiente al eje x y la segunda correspondiente al eje y . Por ejemplo, esta imagen muestra el punto (6, 2):

Otra forma de representar este punto es mediante un vector, como este:

Los números 6 y 2 son los componentes del vector.

La magnitud de los vectores

La magnitud de un vector {eq} \ vec {V} = (x, y) {/eq} se puede calcular usando los componentes, así {eq} | \ vec {V} | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} {/eq}.

Por tanto, {eq} | \ vec {A} | = \ sqrt {6 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {36 + 4} = \ sqrt {40} {/eq}.

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud igual a 1. Aquí hay algunos ejemplos:

Magnitud vectorial	{eq} \ vec {X} = (1,0) {/eq} {eq} \ sqrt {1 ^ 2 + 0 ^ 2} {/eq}	{eq} \ vec {Y} = (0,1) {/eq} {eq} \ sqrt {0 ^ 2 + 1 ^ 2} {/eq}	{eq} \ vec {T} = (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2}) {/eq} {eq} \ sqrt {\ left (\ frac {\ sqrt2} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ sqrt2} {2} \ right) ^ 2} = 1 {/eq}

Dirección del vector

Mire estos vectores: {eq} \ vec {A} = (6,2); \ vec {B} = (- 6,2); \ vec {C} = (- 6, -2); \ vec {D} = (6, -2); \ vec {E} = (2,6); \ vec {F} = (2, -6); \ vec {G} = (- 2, -6); \ vec {H} = (- 2,6) {/eq}

Todos tienen la misma magnitud, entonces, ¿qué es diferente entre ellos? Aquí está el gráfico que los representa a todos.

Está claro que difieren en su dirección .

Resumiendo: los vectores tienen magnitud y dirección; los escalares solo tienen magnitud ‘.

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Operando con Vectores

Al igual que los escalares (o números reales), los vectores se pueden sumar, restar, multiplicar o encontrar su inverso multiplicativo. Esta lección se enfoca en la multiplicación. Hay tres tipos de multiplicaciones de vectores: 1) multiplicar un vector por un escalar; 2) producto escalar o interno o escalar de dos vectores; 3) producto vectorial o cruzado de dos vectores. Esta lección explora el producto cruzado, pero se harán algunas referencias a los otros tipos de multiplicaciones solo para aclarar en qué se diferencian.

Multiplicar vectores

Estos son los tres tipos de multiplicaciones que involucran vectores:

Tipo de producto	Producto de	Resultados en
Un vector por un escalar	Un escalar multiplicado por un vector	Otro vector con la misma dirección pero una magnitud escalar veces más larga que el vector original
Producto escalar de dos vectores	Dos vectores	Un escalar
Producto cruzado de dos vectores	Dos vectores	Otro vector perpendicular a los dos vectores originales

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Multiplicación de escalar con una cantidad vectorial

Vector Dada {eq} \ vec {V} = (x_v, y_v) {/eq} y escalares s , la multiplicación {eq} s \ vec {V} = s (x_v, y_v) = (sx_v, sy_v) {/eq}

Por ejemplo:

Si {eq} \ vec {V} = (7, 3) {/eq} y el escalar s = 2, entonces {eq} s \ vec {V} = 2 (7, 3) = (14, 6) { / eq}

Este producto se puede representar de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que si el escalar es negativo, el vector cambia a la dirección opuesta. Por ejemplo:

{eq} \ vec {V} = (- 3, 2) {/eq} y s = -2, entonces {eq} s \ vec {V} = – 2 (-3, 2) = (6, -4 ) {/eq}

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Producto escalar o escalar de dos vectores

El punto o producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar. Así es como se calcula ese producto escalar.

Dado {eq} \ vec {V} = (x_v, y_v) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (x_w, y_w) {/eq}

{eq} \ vec {V} \ cdot \ vec {W} = (x_v, y_v) \ cdot (x_w, y_w) = x_v \ cdot x_w + y_v \ cdot y_w {/eq}

Por ejemplo: si {eq} \ vec {V} = (2, 2) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (5, 0) {/eq}

{eq} \ vec {V} \ cdot \ vec {W} = (2, 2) \ cdot (5, 0) = 2 \ cdot 5 +2 \ cdot 0 = 10 + 0 = 10 {/eq}

Tenga en cuenta que {eq} \ vec {V} \ cdot \ vec {W} = \ vec {W} \ cdot \ vec {V} {/eq} porque es solo la multiplicación de los componentes correspondientes. En efecto: {eq} \ vec {W} \ cdot \ vec {V} = (5, 0) \ cdot (2, 2) = 5 \ cdot 2 + 0 \ cdot 2 = 10 + 0 = 10 {/eq } que es el mismo valor obtenido anteriormente.

La interpretación geométrica del producto escalar es el área de un cuadrado formado por el vector {eq} \ vec {W} {/eq} y la proyección del vector {eq} \ vec {V} {/eq} sobre {eq} \ vec {W} {/eq}.

Tenga en cuenta que la proyección de {eq} \ vec {V} {/eq} es igual al coseno del ángulo entre los vectores. Por lo tanto, el producto escalar también se puede calcular como:

{eq} \ vec {V} \ cdot \ vec {W} = | \ vec {V} | | \ vec {W} | cos \ theta {/eq}

were {eq} \ theta {/eq} es el ángulo entre los vectores. Por ejemplo, el ángulo entre los vectores {eq} \ vec {V} = (2, 2) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (5, 0) {/eq} es 45 {eq} ^ {o} {/eq}. Entonces:

{eq} | \ vec {V} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {8} = 2 \ sqrt {2} {/eq}

{eq} | \ vec {W} | = \ sqrt {5 ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 {/eq}

{eq} cos \ theta = cos 45 ^ {o} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} {/eq}

Entonces:

{eq} \ vec {V} \ cdot \ vec {W} = 2 \ sqrt {2} \ cdot 5 \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {2} = 10 {/eq}

que es el mismo valor obtenido antes. Entonces, el producto escalar o escalar es conmutativo .

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Producto cruzado de dos vectores

Piense en un ciclista que empuja los pedales de la bicicleta hacia abajo para hacer girar las ruedas y avanzar. Aquí hay dos cantidades vectoriales: el empuje hacia abajo y la rotación de las ruedas. Pero el resultado es un movimiento hacia adelante, que es una tercera cantidad vectorial. Ese vector de producto es perpendicular a los otros dos. Entonces, se necesita un sistema de coordenadas 3D para representar el producto cruzado. Por ejemplo, en esta imagen los dos vectores rojos pueden representar el pedaleo y la rotación de la rueda; el vector azul representa el movimiento hacia adelante de la bicicleta.

Ecuación de productos cruzados

Dado {eq} \ vec {V} = (x_v, y_v) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (x_w, y_w) {/eq} los vectores se pueden escribir como: {eq} \ vec {V} = (x_v, y_v, 0) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (x_w, y_w, 0) {/eq}

Los componentes del vector {eq} \ vec {R} {/eq} que es el producto cruzado de

{eq} \ vec {V} {/eq} y {eq} \ vec {W} {/eq} se pueden calcular como: {eq} \ vec {R} = \ vec {V} \ times \ vec {W } = (r_x, r_y, r_z) {/eq} donde los componentes son:

{eq} r_x = y_v \ cdot 0 – 0 \ cdot y_w \\ r_y = 0 \ cdot x_w – x_v \ cdot 0 \\ r_z = x_v \ cdot y_w – y_v \ cdot x_w {/eq} como puede ver, el el resultado es un vector.

Ejemplo:

{eq} \ vec {V} = (1, 2) {/eq}

{eq} \ vec {W} = (- 3, 5) {/eq}

{eq} \ vec {R} = \ vec {V} \ times \ vec {W} = (y_v \ cdot 0 – 0 \ cdot y_w, 0 \ cdot x_w – x_v \ cdot 0, x_v \ cdot y_w – y_v \ cdot x_w) = 2 \ cdot 0 – 0 \ cdot 5, 0 \ cdot (-3) – 1 \ cdot 0, 1 \ cdot 5 – 2 \ cdot (-3) = (0, 0, 11) {/eq}

Aquí está la representación: Los vectores {eq} \ vec {V} = (1, 2) {/eq} y {eq} \ vec {W} = (- 3, 5) {/eq} están representados en rojo y son en un avión. El vector de producto cruzado se representa en azul y es perpendicular al plano de los otros dos vectores.

Interpretación geométrica del producto cruzado

El vector o producto cruzado entre dos vectores también tiene una interpretación geométrica. La magnitud del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores.

La magnitud del producto cruzado

El área de un paralelogramo es base x altura.

La altura se muestra en la imagen y se puede calcular como {eq} | \ vec {u} | \ cdot sin \ theta {/eq}

donde {eq} \ theta {/eq} es el ángulo entre los vectores.

El ángulo entre estos vectores es 57,53 {eq} ^ {o} {/eq} y sen 57,53 {eq} ^ {o} = 0,844 {/eq}

{eq} | \ vec {u} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {5} {/eq}

{eq} | \ vec {v} | = \ sqrt {(- 3) ^ 2 + 5 ^ 2} = \ sqrt {34} {/eq}

Entonces:

{eq} | \ vec {u \ times v} | = | \ vec {u} || \ vec {v} | {/eq} sin 57,53 {eq} ^ {o} = \ sqrt {5} \ cdot \ sqrt {34} \ cdot 0.844 = 11 {/eq}

que es exactamente la magnitud del vector de producto cruzado (0, 0, 11) calculado anteriormente.

Regla de la mano derecha para el producto cruzado de vectores

Usando la fórmula para la magnitud del producto cruzado {eq} | \ vec {u \ times v} | = | \ vec {u} || \ vec {v} | {/eq} sin {eq} \ theta {/eq} es más fácil que usar la fórmula vectorial. Pero, ¿cómo encontrar la dirección del vector resultante? La respuesta es usar la regla de la mano derecha .

La imagen muestra cómo funciona. Para encontrar la dirección del producto cruzado {eq} \ vec {a} \ times \ vec {b} {/eq} coloque su pulgar a lo largo de {eq} \ vec {a} {/eq} y su índice a lo largo de {eq} \ vec {b} {/eq}. Su dedo medio apuntará en la dirección del producto cruzado.

Producto cruzado utilizando determinantes

Todos los ejemplos anteriores calcularon el producto cruzado de vectores en 2D, es decir, vectores que solo tenían 2 componentes. El tercer componente fue 0. Pero, ¿se calcula el producto cruzado si el tercer componente no es 0? Para ello, se forma una matriz con los dos vectores; el determinante de esa matriz es el producto cruzado.

Luego, para cruzar, multiplica {eq} \ vec {u} = (x_u, y_u, z_u) {/eq} y {eq} \ vec {v} = (x_v, y_v, z_v) {/eq} forman la matriz { eq} \ begin {pmatrix} x & x & z \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \\ \ end {pmatrix} {/eq}

Entonces {eq} \ vec {u} \ times \ vec {v} = (y_u \ cdot z_v -z_u \ cdot y_v, z_u \ cdot x_v-x_u \ cdot z_v, x_u \ cdot y_v- y_u \ cdot x_v) {/eq}

Ejemplo: {eq} (0, 2, -1) \ times (-3, 5, -2) = det \ begin {pmatrix} x & x & z \\ 0 & 2 & -1 \\ -3 & 5 & -2 \\ \ end {pmatrix} = (2 \ cdot (-2) – (- 1) \ cdot 5, (-1) \ cdot (-3) -0 \ cdot (-2), 0 \ cdot 5- 2 \ cdot (-3)) = (1, 3, 6) {/eq}

Propiedades del producto cruzado de dos vectores

1) Propiedad anticomutativa

{eq} \ vec {V} \ times \ vec {w} = – \ vec {V} \ times \ vec {W} {/eq}

El producto cruzado {eq} \ vec {V} \ times \ vec {W} = (1,2) \ times (-3,5) = (0, 0, 11) {/eq} se calculó anteriormente.

El producto cruzado {eq} \ vec {W} \ times \ vec {V} = (- 3,5) \ times (1,2) = (- 3,5,0) \ times (1,2,0) = (5 \ cdot 0 – 0 \ cdot 2, 1 \ cdot 0 – (-3) \ cdot 0, (-3) \ cdot 2 – 5 \ cdot 1) = (0, 0, -11) {/eq }

Aquí hay una representación gráfica de {eq} \ vec {V} \ times \ vec {W} {/eq} y {eq} \ vec {W} \ times \ vec {V} {/eq}

Como era de esperar, la magnitud es necesariamente igual, dado que es {eq} | \ vec {v} | | \ vec {w} | sin \ theta {/eq} pero la dirección del vector del producto cruzado depende del orden de los factores vectoriales. La propiedad de obtener el elemento negativo al conmutar los factores se denomina anticomutativa .

2) El producto cruzado de un vector multiplicado por sí mismo es 0

{eq} \ vec {V} \ times \ vec {v} = 0 {/eq}

Demostración: dado {eq} \ vec {v} = (a, b, c) {/eq} entonces {eq} (a, b, c) \ times (a, b, c) = (bc-cb, ca -ac, ab-ba) = 0 {/eq}

Ejemplo: {eq} (- 1, 2, 3) \ times (-1, 2, 3) = (2 \ cdot 3-3 \ cdot 2, 3 \ cdot (-1) – (- 1) \ cdot 3 , (-1) \ cdot 2-2 \ cdot (-1)) = (0,00) {/eq}

3) Producto doble cruzado

{eq} \ vec {A} \ times (\ vec {B} \ times \ vec {C}) = \ vec {B} \ cdot (\ vec {A} \ cdot \ vec {C}) – \ vec { C} \ cdot (\ vec {A} \ cdot \ vec {B}) {/eq}

Ejemplo: dado {eq} \ vec {A} = (1, 2, -2); \ vec {B} = (0, 1, -2); \ vec {C} = (-1, 0, 1) {/eq}

{eq} \ vec {A} \ cdot \ vec {C} = (1, 2, -2) \ cdot (-1, 0, 1) = – 1 + 0 + (- 2) = – 3 {/eq }

{eq} \ vec {B} \ cdot (\ vec {A} \ cdot \ vec {C}) = (0, 1, -2) (- 3) = (0, -3, 6) {/eq}

{eq} (\ vec {A} \ cdot \ vec {B} = (1, 2, -2) \ cdot (0, 1, -2) = 0 + 2 + 4 = 6 {/eq}

{eq} \ vec {C} \ cdot (\ vec {A} \ cdot \ vec {B}) = (- 1, 0, 1) (6) = (-6, 0, 6) {/eq}

{eq} \ vec {A} \ times (\ vec {B} \ times \ vec {C}) = (0, -3, 6) – (-6, 0, 6) = (6, -3,0 ) {/eq}

Aplicaciones del producto cruzado

Campo magnético

La fuerza del campo magnético es la fuerza que experimenta una partícula cargada en movimiento en un campo magnético. Puede calcularse como:

{eq} \ vec {F} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} {/eq} donde {eq} \ vec {B} {/eq} es el campo magnético, {eq} \ vec { v} {/eq} es la velocidad de la carga yq es la cantidad de la carga.

De ello se deriva que no existe fuerza magnética sobre las cargas estáticas.

Ejemplo:

Una partícula alfa {eq} q = 3.5 \ times 10 ^ {- 19} C {/eq} se mueve a través de un campo magnético uniforme paralelo al eje z positivo de magnitud 2.0 T. ¿Cuál es la fuerza magnética en la beta? -partícula cuando se mueve en la dirección x negativa con una velocidad de {eq} \ vec {v} = – 4.0 \ times 10 ^ 4m / s {/eq}

Solución: el campo magnético y la velocidad de la partícula de carga forman un ángulo recto.

sin 90 {eq} ^ {o} {/eq} = 1

Por tanto: {eq} | \ vec {F} | = q \ cdot | \ vec {v} | \ cdot | \ vec {B} | sin (90 ^ {o}) = | 3.5 \ times 10 ^ {- 19} | \ cdot | -4.0 \ times 10 ^ 4 | \ cdot 2.0 \ cdot 1 = 2.8 \ times 10 ^ {- 14} {/eq } N

La dirección se puede determinar con la regla de la mano derecha: coloque el pulgar en la dirección del eje x negativo y el índice en la dirección del eje z positivo. El dedo medio apunta en la dirección positiva del eje y.

Esfuerzo de torsión

El torque es una fuerza que pone algo en rotación. Mire esta llave inglesa y las dos fuerzas que se le aplican:

Para saber cuál de las dos fuerzas aflojará más fácilmente el perno apretado, se puede calcular un producto cruzado entre la distancia al punto de rotación y la fuerza. Ese producto cruzado se llama torque .

{eq} \ vec {\ tau} = \ vec {r} \ times \ vec {F} {/eq}

Aplicado a las dos fuerzas, los dos pares serían:

{eq} \ vec {\ tau} _A = \ vec {r_ {OA}} \ times \ vec {F_A} {/eq}

{eq} \ vec {\ tau} _B = \ vec {r_ {OB}} \ times \ vec {F_B} {/eq}

Ahora, se ha postulado que {eq} \ vec {F_A} = \ vec {F_B} {/eq}

y {eq} \ vec {r_ {OA}} <\ vec {r_ {OB}} {/eq}

Por tanto: {eq} | \ vec {\ tau} _A | <| \ vec {\ tau} _B | {/eq}

Esto significa que una fuerza aplicada sobre B haría girar la llave más fácilmente que la misma fuerza aplicada sobre A.

Resumen de la lección

El producto cruzado de dos vectores es un tercer vector perpendicular a los dos vectores dados. Se necesita una matriz para calcular el producto cruzado.