Distribuciones muestrales y el teorema del límite central: definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es una distribución de muestreo?

Los estadísticos parecen bastante seguros de sí mismos cuando hablan de distribución normal. Pero, ¿qué les da tanta confianza en que funciona? Después de todo, ¿no podría haber otras distribuciones de muestra , el nombre que se le da al resultado gráfico de las incidencias? Mira, entiendo tu escepticismo. Te diré qué, toma dos dados, tíralos y suma los resultados. Si fueras una mujer apostadora, diría que si hicieras eso 10 veces, obtendrías más 5, 6 y 7 que cualquier otra cosa. Adelante, puede presionar el botón de pausa. Estaré aquí.

¿Funcionó como dije? ¿O me equivoqué? Si me equivoqué, sigue adelante y vuelve a hacer lo mismo otras 90 veces. Créeme, te estaré esperando.

¿Por qué utilizar una distribución normal?

Innumerables estudiantes de estadística han expresado las mismas dudas que algunos de ustedes pueden tener. Innumerables otros estadísticos han utilizado supercomputadoras para ejecutar millones y miles de millones de esas operaciones. Lo que se les ha ocurrido es la distribución normal , una distribución en forma de campana que se repite una y otra vez en las poblaciones y muestras. En pocas palabras, cuando algo te mira a la cara como obvio, los estadísticos tienden a no ignorarlo, especialmente cuando es tan útil como la distribución normal.

El teorema del límite central

En muchos gráficos de distribuciones normales, verá que hay una línea que pasa por el medio, en el punto más alto de la curva. Esto se llama acertadamente la línea central y tiene un teorema que lleva su nombre. El teorema del límite central establece que si ejecuta un experimento aleatorio suficientes veces, los resultados seguirán una distribución normal. De hecho, el teorema del límite central también establece que cuanto mayor sea la oportunidad de desviación entre las variables, mayor será la curva final que se asemejará a una distribución normal. La suma de los resultados de dos dados juntos definitivamente se verá como una distribución normal, dadas suficientes tiradas, mientras que la suma de cuatro o cinco dados juntos en cada lanzamiento se verá como una distribución normal mucho antes.

Protección del teorema del límite central

Por supuesto, una predicción de datos tan regular solo es útil siempre que podamos protegerlos de la corrupción. Todo debe ser aleatorio. Si estaba usando un juego de dados cargados, entonces es probable que su gráfico se vea bastante diferente al mío. Lo mismo ocurre si no te aseguras de que cada lanzamiento de los dados sea un intento honesto de aleatoriedad.

En una población más grande, no siempre podemos verificar cada entrada para asegurarnos de que esté libre de influencia de cualquier otro dato. Sin embargo, todavía podemos hacer una nota especial de los casos que existen que corromperían dichos datos.

Digamos que tiene una clase de estudiantes que normalmente se distribuye en altura y se selecciona al azar del cuerpo estudiantil en general. Si iba a ampliar esa clase de 30 a 40, el conjunto de datos solo mantiene la integridad si los nuevos estudiantes se extraen de una muestra aleatoria de estudiantes. Si, por otro lado, su clase se inunda de repente con miembros del equipo de baloncesto que eligieron tomar la clase en particular, el resultado podría cambiar. Como los jugadores de baloncesto son estadísticamente más altos que el resto de la población, su clase ya no tendría una muestra normal.

Calcular el Z-Score

¿Por qué nos importa que los conjuntos de datos terminen inevitablemente en una distribución normal? En definitiva, porque significa que podemos entenderlo mucho más implícitamente. Si un conjunto de datos no se distribuyera normalmente, tendríamos que recurrir al cálculo para descubrir gran parte de la naturaleza de los datos, incluida la búsqueda de nuevas ecuaciones para cada conjunto de números. Con una distribución normal, simplemente tenemos que encontrar el puntaje Z , una medida de distancia desde la media en términos de números de desviación estándar, y luego verificar una tabla prefabricada para encontrar los porcentajes relevantes.

Resumen de la lección

En esta lección examinamos los conceptos de distribución muestral y el teorema del límite central. Una distribución muestral es la forma en que se ve un conjunto de datos cuando se traza en un gráfico. A medida que crecen los conjuntos de datos, estos tienden a reflejar distribuciones normales. La distribución normal es una distribución en forma de campana que se repite una y otra vez en las poblaciones y muestras. Esto es especialmente cierto porque los conjuntos tienen una mayor oportunidad de extenderse sobre valores posibles. La razón de esto es el teorema del límite central, que establece que cuanto más se ejecuta un experimento, más se parecerán sus datos a una distribución normal. Sin embargo, esto solo es válido si cada punto nuevo es de naturaleza aleatoria, como lo demostró nuestro ejemplo de inundar una clase distribuida normalmente con jugadores de baloncesto. Con una distribución normal, podemos evitar el cálculo y encontrar la puntuación Z , una medida de distancia de la media en términos de números de desviación estándar, y luego verificar una tabla prefabricada para encontrar los porcentajes relevantes.

Términos clave

distribución de muestreo: la forma en que se ve un conjunto de datos cuando se traza en un gráfico

distribución normal: una distribución aproximadamente en forma de campana que se produce una y otra vez en las poblaciones y muestras

Teorema del límite central: establece que cuanto más se ejecuta un experimento, más datos se parecerán a una distribución normal.

Z-score: una medida de distancia de la media en términos de números de desviación estándar

Los resultados del aprendizaje

La comprensión clara de la lección puede contribuir a su capacidad para:

• Escribe la definición de una distribución estándar
• Reconocer la practicidad de la distribución normal.
• Declare el teorema del límite central de memoria
• Proteja el teorema de la corrupción
• Encuentra la puntuación Z

Continúa con:

1. Química

   Teorema de Pitágoras: Definición y ejemplo

   El teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras lleva el nombre del matemático griego Pitágoras,...

2. Geometría

   Teorema de la bisectriz del ángulo: definición y ejemplo

   Teorema de la bisectriz de ángulo Imagina un triángulo. Ahora imagina que uno de los...

3. Ciencias Económicas

   PIB real per cápita: definición y fórmula

   PIB real Antes de hablar sobre el cálculo del PIB real per cápita , debemos...

4. Álgebra

   Medida de arco: definición y fórmula

   Arco de círculo Comencemos con una definición simple. Un arco es un segmento de un...