Teorema de la bisectriz del ángulo: definición y ejemplo

Teorema de la bisectriz de ángulo

Imagina un triángulo. Ahora imagina que uno de los ángulos del triángulo se divide en dos triángulos iguales más pequeños. La línea que se usó para cortar el ángulo por la mitad se llama bisectriz de ángulo. Cuando le haces esto a un triángulo, en realidad divide los lados del triángulo de una manera única. El teorema de la bisectriz del ángulo nos dice cuál es esa forma.

El teorema de la bisectriz del ángulo nos dice que la bisectriz del ángulo divide proporcionalmente los lados del triángulo. Cuando tienes una bisectriz de ángulo, también tienes dos triángulos más pequeños. Son estos dos triángulos más pequeños los que son proporcionales.

El radio

Podemos escribir el teorema de la bisectriz del ángulo usando razones. Entonces podemos usar esta razón para ayudarnos a resolver problemas.

Entonces, si tenemos el triángulo ABC, donde el segmento de línea AD es la bisectriz del ángulo A, entonces el teorema de la bisectriz del ángulo nos dice que la razón de la longitud de BD a la longitud de DC es igual a la razón de la longitud de AB a la longitud de AC.

¿Es una bisectriz de ángulo?

La primera forma en que podemos usar el teorema de la bisectriz de ángulo es verificando si un segmento de línea es realmente una bisectriz de ángulo o no. Para hacer esto, conectamos los números que se nos dan para los lados para ver si funcionan en la razón. ¿Son las proporciones iguales entre sí? Si es así, entonces sí, el segmento de línea es una bisectriz de ángulo.

Entonces, digamos, por ejemplo, que tenemos un triángulo con un segmento de línea AD que parece cortar el ángulo A a la mitad. Podemos comprobar si realmente lo hace conectando las longitudes de los lados en nuestra relación. Se nos da el lado BD = 3, el lado DC = 1, el lado AB = 9 y el lado AC = 3. Inserte estos números en nuestra razón del teorema de la bisectriz del ángulo para ver si funcionan.

3/1 = 9/3
3/1 = 3/1

Verifican porque 9/3 se simplifica a 3/1. Tanto el 9 como el 3 se pueden dividir por un 3. Los dos lados son iguales, así que sí, la línea AD es una bisectriz de ángulo.

Encontrar un lado perdido

Otra forma en la que podemos usar el teorema de la bisectriz de ángulo es cuando necesitamos encontrar la longitud de un lado faltante. Si conocemos las longitudes de tres de los lados mencionados en la razón del teorema de la bisectriz del ángulo, podemos encontrar la longitud del cuarto lado usando la razón.

Veamos cómo funciona esto.

Si tenemos un triángulo ABC con bisectriz de ángulo AD, podemos encontrar la longitud faltante del lado AB si se nos dan las longitudes de los lados BD, DC y AC. Se nos da el lado BD = 5, DC = 10 y AC = 20. Podemos insertar estos valores en nuestra razón, y pondremos una x para nuestro lado AB.

5/10 = x / 20

Al observar esta razón, vemos que podemos usar el álgebra para ayudarnos a resolver la longitud que nos falta. Así que seguimos adelante y multiplicamos ambos lados por 20 para obtener x por sí mismo.

(5/10) * 20 = ( x / 20) *
20100/10 = x
10 = x

Tenemos nuestra respuesta. La longitud que falta del lado AB es 10.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que el teorema de la bisectriz del ángulo nos dice que la bisectriz divide un triángulo en dos triángulos proporcionales cuyos lados son proporcionales. Si tenemos un triángulo ABC con bisectriz de ángulo AD que biseca el ángulo A, la proporción se puede escribir en forma de razón como BD / DC = AB / AC donde BD, DC, AB y AC son todos segmentos de línea. Podemos usar el teorema de la bisectriz de un ángulo y su razón para ayudarnos a verificar si un segmento de recta es una bisectriz de un ángulo o no y para ayudarnos a encontrar las longitudes que faltan.

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, debería poder:

• Definir el teorema de la bisectriz del ángulo
• Use razones con confianza para confirmar el teorema de la bisectriz de ángulo