División de factoriales: definición y concepto

Notación y función para factoriales

La función factorial usa un símbolo especial,!, Y generalmente se muestra así, n !. El dominio de n es el conjunto de números naturales. En otras palabras, n puede ser cualquier número natural.

La función factorial n ! es el producto de todos los números naturales de 1 an . En símbolos, podemos mostrar la función como n ! = n * ( n – 1) * ( n – 2) *,. . ., 2 * 1. Por lo general, se escribe en orden ascendente o descendente, pero esta lección generalmente escribirá los factores de un factorial en orden descendente.

Veamos un ejemplo.

4! = 4 * 3 * 2 * 1

El cero generalmente no se incluye en el conjunto de números naturales, ¡pero 0! puede aparecer en algunos problemas. 0! se define simplemente de la siguiente manera:

0! = 1

División de factoriales

La división de factoriales es exactamente lo que dice. Es un problema de división con factoriales en el numerador y / o denominador. Por ejemplo, la siguiente expresión es una división de factoriales:

6! / 4!

Resolveremos este problema en un ejemplo que viene más adelante en esta lección. Primero veamos una forma común de usar factoriales.

Usando la función factorial

Las funciones factoriales son útiles para determinar de cuántas formas se puede organizar un conjunto de objetos. La ordenación de un número determinado de objetos se llama permutación . Digamos que tenemos 6 libros diferentes y queremos determinar de cuántas formas podemos organizar estos libros en un solo estante.

Hay 6 opciones para el primer lugar. Para el segundo lugar, quedan 5 opciones. Por lo tanto, cada libro que podría estar en el primer lugar puede ser seguido por cualquiera de los 5 libros que quedan o 6 * 5. Luego hay 4 opciones para el tercer lugar, por lo que 6 * 5 * 4. Este patrón continúa hasta que todos los los libros están ordenados. Hay 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 formas de organizar los 6 libros diferentes.

Disposición de seis libros

Este ejemplo nos da una explicación de por qué 0! = 1. ¿De cuántas formas hay de organizar cero objetos? Hay una forma, que es el conjunto vacío. Piense en una estantería vacía. Esa sería la cantidad de formas en que podemos organizar cero libros.

División factorial en permutaciones

Veamos de nuevo el ejemplo del libro. ¿Y si quisiéramos colocar solo 2 de los 6 libros en el estante? La fórmula típica para organizar k objetos de un grupo de n objetos distintos se muestra ahora en la figura de la pantalla:

Figura 1

Usemos esta fórmula para nuestro ejemplo. Tenemos 6 libros diferentes, por lo que n = 6. Organizamos solo 2 de los libros, por lo que k = 2. Ingresemos estos valores en nuestra fórmula:

6! / (6 – 2)! = 6! / 4!

Si escribimos todos los factores de cada factorial, obtenemos lo siguiente:

(6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (4 * 3 * 2 * 1)

Podemos cancelar 4 * 3 * 2 * 1 del numerador y denominador y nos queda 6 * 5, por lo que nuestra respuesta final es 30. En otras palabras, cancelamos 4 !. Veámoslo de otra manera. Solo queremos organizar dos libros, por lo que debemos eliminar 4 !, que representa la ubicación de los cuatro libros restantes. Ahora debería ser evidente que el factorial de un número natural es un subconjunto de un factorial de cualquier número natural mayor.

Volvamos a nuestro primer ejemplo, en el que organizamos los 6 libros. Si usamos nuestra fórmula en la Figura 1, obtenemos lo siguiente:

6! / (6 – 6)! = 6! / 0! = 720/1 = 720

¡Esto muestra por qué es útil para 0! para igualar 1.

Combinación factorial en combinaciones

Las funciones factoriales también son útiles para agrupar un cierto número de objetos cuando la disposición o el orden no son importantes. Estos agrupamientos desordenados se denominan combinaciones .

Usemos un ejemplo de pizza para este tema. Nos gustaría pedir una pizza de una pizzería local que ofrece 9 ingredientes diferentes. Empezamos a preguntarnos cuántas combinaciones son posibles si seleccionamos 3 de los ingredientes. Obviamente, el orden de las 3 coberturas no importa porque las coberturas se distribuirán por toda la pizza (por ejemplo, champiñones, aceitunas, pimientos verdes es lo mismo que aceitunas, champiñones, pimientos verdes).

La fórmula típica para identificar el número de combinaciones de k objetos de un grupo de n objetos distintos se muestra ahora en la figura de la pantalla:

Figura 2

Hay 9 ingredientes diferentes, por lo que n = 9. Estamos eligiendo 3 de los ingredientes para nuestra pizza, por lo que k = 3. Vamos a introducirlos en nuestra fórmula:

9! / ((9 – 3)! * 3!) = 9! / (6! * 3!)

Si escribimos los factores, obtenemos lo siguiente:

(9 * 8 * 7 * 6!) / (6! * 3 * 2 * 1)

¡Tenga en cuenta que no es necesario escribir los factores de 6! porque se anulan mutuamente. Podemos reescribir el problema de la siguiente manera:

(9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1)

Si completamos la multiplicación de los factores restantes obtenemos 504/6 = 84.

¿Ves por qué necesitamos incluir k ! en el denominador? ¡Cada grupo posible de 3 elementos se puede organizar 3! formas. ¡Si no dividimos por 3! En nuestro ejemplo de pizza, cada grupo posible de tres elementos se organizará ¡3! formas. Solo queremos un camino porque el orden no importa en este caso.

Ampliemos el problema de la pizza. Digamos que también podríamos elegir entre tres tipos diferentes de quesos (asumiendo que el queso está separado de las 9 opciones de cobertura) y queremos seleccionar dos quesos. El número posible de combinaciones es el siguiente:

3! / ((3 – 2)! * 2!) = 3! / (1! * 2!) = 6/2 = 3

Finalmente, multiplique las posibles combinaciones de tres ingredientes con la posible combinación de dos quesos para obtener una respuesta final de 84 * 3 = 252. ¡De elegir tres ingredientes y dos quesos, hay 252 tipos diferentes de pizza que podemos pedir!

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Primero recordemos que n ! es el producto de todos los números naturales de 1 an y que la división de factoriales es un problema de división con factoriales en el numerador y / o denominador. A menudo se trata de eliminar factores comunes entre el numerador y el denominador de una fracción. Los factoriales comunes se pueden eliminar de la misma manera que otros factores comunes como los números enteros. La división de factoriales es una operación común cuando se resuelven problemas como permutaciones , que involucran el ordenamiento de un número determinado de objetos; y combinaciones , que implican agrupar un cierto número de objetos cuando la disposición o el orden no es importante.