Ecuación de una línea usando la fórmula punto-pendiente

Publicado el 3 noviembre, 2020

Viaje por carretera a Las Vegas


Gráfico de una ubicación en función del tiempo
gráfico de una ubicación en función del tiempo

Un buen amigo mío se va a casar esta noche en Las Vegas, así que voy a hacer un pequeño viaje por carretera. A las 2 pm, estoy de camino a Las Vegas y voy a unas 60 mph. A las 6 pm, todavía estoy de camino a Las Vegas y todavía voy a 60 mph. Me he quedado sin gasolina, pero ese es otro problema.

Si estoy o no en Las Vegas y llegaré a tiempo para esta boda de las 10 pm, dependerá de dónde empiece. Si conduzco durante 4 horas desde Los Ángeles, podría estar en Las Vegas. Si estoy tratando de llegar desde Miami o Seattle, probablemente no esté allí, especialmente si solo voy a 60 mph.

Echemos un vistazo a un gráfico de mi ubicación en función del tiempo.

Sé que mi velocidad es mi cambio de ubicación dividido por mi cambio de tiempo. En este gráfico en particular, será la pendiente de cualquier línea que conecte mi ubicación en un punto en el tiempo con mi ubicación en otro momento. La pendiente de la línea que conecta estos dos puntos será 60, pero no sé exactamente dónde están estos dos puntos. No sé si empiezo en Los Ángeles, Phoenix o Seattle. Así que no sé si podré llegar a esta boda antes de las 10 pm, porque no sé por dónde comencé.

Forma punto-pendiente

Veamos esto matemáticamente. Usemos lo que se llama forma de punto-pendiente de una ecuación. Esto va a relacionar el tiempo con mi ubicación. Para usar la forma punto-pendiente, necesito conocer un punto, como mi ciudad de partida, y la pendiente, como mi velocidad. Por ejemplo, digamos que a las 2 pm, estoy en la milla 40. Ese es mi punto de partida. Mi velocidad será de 60 mph. No quiero que me detengan de camino a esta boda. Si le pregunto intuitivamente dónde estaré después de 2 horas, a las 4 pm, podría decirme que estaré en el marcador de milla 160, si he ido a 60 mph.


La ubicación ahora menos la ubicación anterior es igual a 120 millas
fórmula de pendiente de punto

¿Cómo hiciste eso? Dijiste que el cambio en el tiempo, que es la cantidad de tiempo que conduzco, es de 2 horas. Voy a 60 mph en esas 2 horas. Eso significa que voy a viajar un total de 120 millas. Sin embargo, no voy a estar en el marcador de la milla 120, porque no comencé en el marcador de la milla 0.

Voy a recorrer 120 millas adicionales desde donde estoy ahora. Entonces, el cambio de ubicación será de 120 millas. Esa es la ubicación ahora menos mi ubicación anterior. Así que voy a tomar 120 y agregarlo a mi ubicación actual, que es el marcador de milla 40. En 2 horas, a 60 mph, iré 120 millas más lejos de lo que estoy ahora. Llegaré hasta el marcador de milla 160.

La formula

Podemos escribir esto muy matemáticamente como y = y 1 + m ( xx 1 ). Aquí, nuestro punto inicial, nuestra ubicación inicial, es ( x 1 , y 1 ). Esa es la hora actual y la ubicación actual: x 1 es la hora e y 1 es mi ubicación.

m es mi pendiente, Δ y / Δx . Así de empinada es esta línea, el cambio en y dividido por el cambio en x . Lo que tengo aquí es mi ubicación inicial más mis millas por hora multiplicadas por la cantidad de tiempo, y eso da mi ubicación en el futuro.

Ejemplo 1

Hagamos un ejemplo. Digamos que a la 1 pm, comienzo en la milla 10, y voy a ir a 72 mph. Usemos la forma punto-pendiente para relacionar el tiempo con mi ubicación.

La forma punto-pendiente es y = y 1 + m ( xx 1 ). Comencemos a completar las cosas.

  • m es la pendiente, entonces eso es 72, porque voy a 72 mph.
  • x es x ; ese es mi momento.
  • x 1 y y 1 son mi ubicación actual.
  • Entonces x 1 es la hora actual, que es solo 1 para la 1 pm
  • y 1 es la ubicación a la 1 pm, que es solo el marcador de milla 10.

Puedo conectar esos dos números para obtener

y = 10 + 72 ( x – 1)

Si quiero saber dónde estoy en un momento dado, puedo ingresar ese valor para x y resolver para encontrar mi ubicación, y . Entonces, a las 4 pm, x = 4 y y es entonces 10 + 72 (4 – 1), que son 226 millas. Ese es mi nuevo marcador de milla.


Ejemplo de fórmula punto-pendiente
formalmente

Ejemplo # 2

Muy bien, volvamos al problema de la boda. Digamos que no conduzco. Después de ir a 72 mph, recibí demasiadas multas por exceso de velocidad, así que dejo que alguien más maneje. La boda es a las 10 pm y está en la milla 100 en Las Vegas. Actualmente, son las 2 pm y estamos en la milla 5. Se lo dejo a mi amigo y me quedo dormido en el asiento trasero. A las 6 pm, me despierto y estamos en la milla 25. ¿Hay alguna forma de que lleguemos a Las Vegas a las 10 pm?

Aquí no sé qué tan rápido vamos, así que no puedo usar la fórmula punto-pendiente. Pero tengo dos puntos y sé que vamos a velocidad constante. Puedo averiguar cuál ha sido nuestra velocidad entre las 2 pm y ahora y usar eso para encontrar mi velocidad para mi fórmula punto-pendiente.

Primero busquemos la pendiente. Los dos puntos son (2, 5), porque a las 2 pm estaba en el marcador de milla 5, y (6, 25) porque a las 6 pm estaba en el marcador de milla 25.

Puedo encontrar la pendiente de esta línea: Δy / Δx , que es el cambio de ubicación dividido por el cambio de tiempo. Mi ubicación ha pasado de 5 a 25, que es una diferencia de 20, y el tiempo ha pasado de 2 a 6, que son 4 horas. Entonces, he recorrido 20 millas en 4 horas. Eso me da 5 mph.

Realmente necesito hablar con este tipo. Estamos en la autopista aquí. ¿Por qué vamos a 5 mph? ¿Hay mucho tráfico o algo así? Eso no es ni aquí ni allá. Ahora conozco mi pendiente y tengo razón. De hecho, tengo dos puntos. Y puedo usar cualquiera de los dos en forma de punto pendiente para encontrar una ecuación de dónde estaré y a qué hora.


Esto se puede simplificar ay = 5x – 5.
y = 25

Entonces, la forma punto-pendiente dice que y = y 1 + m ( xx 1 ). Voy a usar mi ubicación actual como mi punto, así que

  • y 1 es 25, para el marcador de milla 25,
  • x 1 es 6, porque son las 6 pm, y
  • m es mi velocidad, que es un pésimo 5 mph.

La forma punto-pendiente me da y = 25 + 5 ( x – 6). Puedo simplificar esto y termino con y = 5 x – 5. ¿Dónde estaré a las 10 pm?

A las 10 pm, x será 10. Inserte x = 10, y obtengo 50 – 5, que es y = 45. Estaré en el marcador de milla 45. Eso no está cerca de Las Vegas. Vegas está en la milla 100. ¿Cuándo llegaré a Las Vegas?

Necesito encontrar qué valor de x me dará un valor de y que es 100. Resolvamos 100 = 5 x – 5. Voy a sumar 5 en ambos lados, luego dividir por 5 y encontrar que x = 21 horas después de que comencé. Eso significa que no llegaré hasta las 11 de la mañana de mañana. Bueno, tanto por celebrar esa boda. Probablemente ni siquiera iré a la fiesta posterior.

Resumen de la lección

Recapitulemos. Para encontrar una ecuación para la línea que pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) con alguna pendiente m , usamos la fórmula punto-pendiente : y = y 1 + m ( xx 1 ). Podemos usar esto, por ejemplo, para averiguar dónde vamos a estar en un momento dado en nuestro viaje por carretera a Las Vegas.

Si, en lugar de tener un punto y una pendiente, nos dan dos puntos, primero podemos calcular la pendiente y luego usar la fórmula punto-pendiente. Usamos esto en el caso en el que, por ejemplo, me quedo dormido en el camino a Las Vegas y solo sé la hora y nuestra ubicación.

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