Ecuaciones paramétricas en contextos aplicados

Ecuaciones paramétricas

En esta lección en video, hablaremos sobre ecuaciones paramétricas y cómo se aplican en el mundo real. Estas ecuaciones toman una ecuación en dos o más variables y definen cada variable en términos de una variable llamada parámetro.

Por ejemplo, podemos tomar la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 1 , que tiene dos variables, y convertirla en una ecuación paramétrica definiendo x = sin (t) e y = cos (t) , donde t es nuestro un parámetro. ¿Por qué hacemos esto?

Hacemos esto porque convierte una ecuación en dos o más variables en un problema simple de una variable. Por supuesto, deberá resolver cada variable para obtener un punto exacto, pero solo debe preocuparse por su único parámetro. También podemos pensar en nuestro parámetro como tiempo.

Ruta circular

Ya que estamos hablando de usar ecuaciones paramétricas en el mundo real, hablemos de una situación del mundo real donde se pueden aplicar ecuaciones paramétricas. Digamos, por ejemplo, que estamos viendo cómo se ejercitan caballos en un corral circular. Cada caballo hace su recorrido de ejercicio a lo largo del mismo círculo dentro del corral. Podemos modelar el camino que toman nuestros caballos con ecuaciones paramétricas. Con nuestras ecuaciones paramétricas, podemos determinar la ubicación de nuestros caballos en un momento dado.

Encontrar las ecuaciones paramétricas

Entonces, ¿cómo encontramos nuestras ecuaciones paramétricas? Bueno, sabemos que para un círculo con un radio de r , las ecuaciones paramétricas son x = r sin (t) e y = r sin (t) donde r es el radio y t es nuestro parámetro. En nuestro caso, nuestro parámetro representa el tiempo. El círculo que están tomando los caballos dentro del corral tiene un radio de 10 pies. Entonces, nuestras ecuaciones paramétricas son x = 10 sin (t) e y = 10 cos (t) . Limitaremos nuestra t para que comience en 0 y termine en 2pi. Al limitar nuestro t como lo hicimos, nos dice que nuestro caballo solo hace un círculo completo para su rutina de ejercicios.

Resolver las ecuaciones

Ahora, solucionemos algunos problemas con nuestras ecuaciones paramétricas.

Encuentra la posición de partida de nuestros caballos.

Para hacer esto, resolvemos nuestras ecuaciones paramétricas para t = 0. Al hacer eso, obtenemos x = 10 sin (0) = 10 * 0 = 0 e y = 10 cos (0) = 10 * 1 = 10 . Entonces, nuestro punto de partida está en (0, 10). Si graficamos nuestro corral con el punto central en (0, 0), entonces nuestro punto de partida, (0, 10), es el lado superior de nuestro círculo si estamos parados en la parte inferior del corral mirando hacia el corral con el círculo en el medio.

Gráfico, por ejemplo, problema

Ahora, encuentre la posición de los caballos en t = pi / 2.

Para encontrar la respuesta a esto, resolvemos nuestras ecuaciones paramétricas para t = pi / 2. Como tenemos un pi, estamos hablando de radianes. Si estamos usando una calculadora, debemos asegurarnos de que nuestra calculadora esté configurada en radianes y no en grados. También podemos usar nuestro círculo unitario que tiene todos nuestros grados importantes etiquetados con sus valores de coseno y seno apropiados.

Obtenemos x = 10 sin (pi / 2) = 10 * 1 = 10 e y = 10 cos (pi / 2) = 10 * 0 = 0 . Entonces, en t = pi / 2, nuestro caballo está en el punto (10, 0). Nuestros caballos están ahora en el punto más a la derecha de nuestro círculo. Nuestros caballos viajan en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo.

Podemos continuar con nuestra solución de problemas con otros valores de t mediante la conexión de diferentes valores de t en las ecuaciones paramétricas.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido:

Aprendimos que las ecuaciones paramétricas toman una ecuación en dos o más variables y definen cada variable en términos de una variable llamada parámetro. Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas para la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 1 son x = sin (t) e y = cos (t) . Pasamos de dos variables definitorias a una variable definitoria. Esta es la ecuación para un círculo con un radio de 1. Para un círculo con un radio de r , las ecuaciones paramétricas son x = r sin (t) e y = r cos (t) .

En el mundo real, podemos usar estas ecuaciones para decirnos la posición de un objeto que viaja en una trayectoria circular. Podemos encontrar la posición del objeto en cualquier momento ingresando diferentes valores para t , el parámetro, que representa el tiempo en nuestro caso. Cuando limitamos nuestro parámetro, le da a nuestra ruta un punto de inicio y un punto final.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir ecuaciones paramétricas
• Explica cómo usar estas ecuaciones para resolver problemas del mundo real.
• Identificar el propósito de limitar el parámetro al resolver problemas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador