Escala logarítmica: definición y descripción general

¿Qué es una escala logarítmica?

¿Alguna vez ha dejado accidentalmente un pollo crudo en la encimera de la cocina durante cuatro horas? Si es así, entonces sabía que tenía que tirarlo, porque a menudo hay bacterias peligrosas en el pollo crudo y, a temperatura ambiente, pueden multiplicarse rápidamente. En condiciones ideales, algunas células bacterianas pueden dividirse en solo 30 minutos y esas células se dividen nuevamente después de otros 30 minutos. Si este proceso comienza con una sola célula, el crecimiento exponencial de las bacterias puede producir casi 17 millones de células en solo 12 horas. El siguiente gráfico ilustra este crecimiento:

Este es un buen gráfico, pero tiene un problema. Cada eje del gráfico utiliza una escala lineal, por lo que, aunque la información se representa con precisión, es muy difícil saber qué está sucediendo con el crecimiento de bacterias hasta aproximadamente el punto de las 9 horas. Necesitamos una forma de cambiar la escala de uno de los ejes para poder utilizar toda la información. Es por esta razón que se desarrollaron las escalas logarítmicas.

Recuerde que un logaritmo es solo la potencia a la que se eleva una base para igualar un número en particular. En el siguiente ejemplo, la base es 10 y el logaritmo es 1,7:

La definición de escala logarítmica es aquella en la que las unidades en el eje son potencias, o logaritmos, de un número base, y se usa típicamente cuando el aumento o disminución de valor en ese eje es exponencial. Muy a menudo, la base usada es de 10. Si sólo un eje utiliza una escala logarítmica, a continuación, se define como un semi-log gráfico. Si ambos ejes usan una escala logarítmica, entonces se define como un gráfico logarítmico . Un eje escalado logarítmicamente nunca puede representar cero o un número negativo, porque no hay potencia a la que pueda elevar un número base para obtener números menores o iguales a cero. Podemos tener logaritmos que sean iguales a cero, pero recuerde que representan el número 1; También se utilizan logaritmos negativos, como veremos en un próximo ejemplo.

Para obtener más información de la tabla de crecimiento bacteriano, podemos cambiar uno de los ejes escalados linealmente a una escala logarítmica, creando así una gráfica semilogarítmica. Reformateemos el eje y usando potencias de 10 para representar los números de crecimiento celular:

¡Que diferencia! Ahora, en lugar de un eje y lineal , cada unidad principal es una potencia de 10. El logaritmo inferior es cero y 10 0 representa el número 1. La siguiente línea es 10 1 o 10. La siguiente es 10 2 = 100 Etcétera. Al hacer esto, ahora hemos creado un gráfico que es una línea recta, y es más fácil extraer información del gráfico. Por ejemplo, cuando dejó el pollo afuera, puede ver cuántas bacterias habrían crecido de una sola célula. El valor logarítmico a las 4 horas es de aproximadamente 2,4. 10 elevado a la potencia 2.4 son 251 celdas. A las 10 horas, el valor logarítmico es de aproximadamente 6 y 10 6 es de 1.000.000 de células.

Ejemplo de semi-registro

Veamos otro ejemplo de semi-registro:

¿Cuál es el sonido más fuerte que has escuchado? Tal vez fue un concierto de rock o un trueno. ¿Y qué tal el sonido más silencioso? ¿Un susurro? Las mediciones de potencia de audio comunes sitúan el concierto de rock en 10 mil millones de veces la potencia de salida del susurro. Y, sin embargo, se mide que el susurro tiene 100 veces la potencia del sonido grabado más débil. La siguiente tabla muestra la potencia de salida de audio de algunos sonidos familiares multiplicada por la potencia del sonido más débil (que tiene una potencia de 1):

Una vez más, tenemos un gráfico preciso, pero muchas de las fuentes de ruido tienen una potencia comparativamente baja asociada, por lo que parecen insignificantes. Creemos de nuevo un gráfico semilogarítmico cambiando el eje y a logaritmos de base 10. Esto nos brinda un nuevo gráfico que puede brindar más información:

Ahora podemos tener una mejor idea del nivel de potencia atribuido a cada fuente de ruido. El tráfico de la autopista, por ejemplo, tiene un logaritmo de 7. 10 7 es 10,000,000. Por lo tanto, el tráfico de la autopista tiene una potencia de audio 10 millones de veces mayor que el sonido grabado más débil. Estos gráficos también proporcionan una forma conveniente de hacer comparaciones. Supongamos que quisiéramos saber cuánto más ruidoso es un martillo neumático que una biblioteca. El martillo neumático tiene un logaritmo de 10 y la biblioteca es 4. Los exponentes restan, por lo que 10 – 4 = 6 y podemos elevar 10 a la sexta potencia para ver cuánto más fuerte es el martillo neumático (un millón de veces) que la biblioteca.

Un ejemplo de log-log

Ahora veamos un ejemplo de log-log:

A veces queremos usar valores fraccionarios que cambian rápidamente. La intensidad de la luz es un buen ejemplo. Los físicos usan un término llamado irradiancia, que se mide en vatios por metro cuadrado. En el vacío, la potencia luminosa por unidad de área disminuye rápidamente como el cuadrado de la distancia cuando se aleja de la fuente inicial. En la siguiente ilustración, la intensidad de luz inicial tiene un valor de 2 vatios / metro cuadrado a una distancia inicial de 1 metro:

Tal como está, el gráfico hace un buen trabajo al representar qué tan rápido disminuye la potencia de la luz con la distancia. Pero, ¿y si queremos más resolución para distancias superiores a unos 4 metros? O, ¿qué pasa si queremos tener la capacidad de comparar valores de irradiancia entre 10 y 100 metros de distancia con los que están cerca? Nuestra solución es un gráfico logarítmico. Es decir, vamos a poner tanto el y eje x y el x eje x en escalas logarítmicas. Aquí hay un ejemplo de un gráfico logarítmico que nos brinda buenos datos de irradiancia, ya sea cerca o fuera de 100 metros:

Hay varios puntos clave que debe verificar en este cuadro. Primero, cuando el logaritmo de la distancia es cero (1 metro), deberíamos tener un valor de irradiancia de 2 (el valor inicial). El logaritmo de 2 es 0.3, por lo que parece correcto en el gráfico. Ahora, revisemos un par de distancias. Cuando el logaritmo de la distancia es 1 (a la mitad del eje x ), estamos a 10 metros de distancia. La potencia de la luz desciende como el cuadrado de la distancia, por lo que la potencia debe ser 1/100 del valor inicial a 10 metros. Esto daría un valor de irradiancia de 0.02, y el logaritmo de 0.02 es -1.7, que es aproximadamente lo que muestra el gráfico en este punto. Al final de la x-eje, donde el registro es 2, estamos a 100 metros de distancia. En este punto, la irradiancia habrá caído a una décima parte de su valor original, o 0,0002. El logaritmo de 0,0002 es -3,7, que es lo que muestra el gráfico.

Como puede ver en este ejemplo, las escalas logarítmicas se pueden mostrar en números positivos o negativos (porque los registros pueden ser positivos, negativos o cero). También pueden proporcionar un gráfico lineal, por lo que es fácil encontrar valores de y para un valor de x dado . Lo que no encontrará en los ejes escalados logarítmicamente son logaritmos que corresponden a un valor original de cero o un número negativo.

Resumen de la lección

Una escala logarítmica se define como aquella en la que las unidades de un eje son potencias, o logaritmos, de un número base, generalmente 10. Es particularmente útil cuando necesitamos representar cambios grandes y exponenciales en la información de ese eje. Un semi-log tabla es uno en el que uno de los ejes ( x o y ) se convierte en una escala logarítmica. Un gráfico logarítmico es aquel en el que ambos ejes se convierten a escalas logarítmicas. Aunque los logaritmos pueden ser cero o negativos, una escala logarítmica nunca puede representar un número menor o igual a cero porque no se puede elevar una base a una potencia para obtener estos números.

Leer información de un gráfico semi-logarítmico, donde el eje y se ha convertido a una escala logarítmica, es fácil. Cuando se encuentra un valor de y particular , es la potencia a la que puede elevar la base (generalmente 10) para encontrar el número original que se representa. Al leer un gráfico log-log, tanto el x eje x y y valores del eje deben ser convertidos usando la base apropiada. Al comparar dos valores de y en una escala logarítmica, reste el segundo logaritmo del primero y luego eleve la base al número resultante para obtener la relación real entre los dos números.