Escalares y matrices: propiedades y aplicación

Matrices

¿Quién no ama las rebajas? Supongamos que su tienda de ropa favorita XYZ es una tienda que vende camisas, pantalones y pantalones cortos. Tiene dos ubicaciones de tiendas en Locktown y Fernland. La tienda es bastante popular debido a su estructura de tarifas única. Cada par de pantalones tiene el mismo precio, cada camisa tiene el mismo precio y cada par de pantalones cortos tiene el mismo precio. Los precios varían según la ubicación, pero cada tipo de ropa tiene un precio específico, independientemente del estilo.

Los precios, según la ubicación, se ilustran en la siguiente tabla:

De hecho, podemos usar una herramienta matemática para condensar esta tabla en una matriz de números como se muestra:

Esta matriz rectangular de números se llama matriz en matemáticas. Este concepto tiene un nombre bastante elegante, pero como acabamos de ver, no es más que una forma de escribir una colección de números de manera organizada.

En nuestra matriz, hay tres filas y dos columnas, entonces decimos que esta matriz es una matriz de 3 x 2. En general, una matriz m x n es una matriz rectangular de números con m filas yn columnas.

Eso es bastante simple, ¿no crees?

Escalares y multiplicación escalar

Ahora que sabemos lo que es una matriz, hablemos de números regulares cuando trabajemos en terrenos matriciales. Cuando trabajamos en tierra matricial, llamamos a un número, n , un escalar . Hacemos esto para no confundir un número con una matriz de 1 x 1. Una vez más, es solo un nombre elegante para un concepto muy simple. Un escalar es simplemente un número.

Muy bien, volvamos a esta tienda de ropa, ¿y no dijimos algo sobre una oferta? Supongamos que tenemos suerte y la tienda decide realizar una venta en toda la tienda en ambas ubicaciones, reduciendo todo en un 25%. En otras palabras, todo está al 75% de su precio normal durante la venta. Esto nos dice que si queremos encontrar el precio de venta de algo en la tienda, lo multiplicamos por 0,75. Dado que todo en la tienda está rebajado, debemos multiplicar todos los precios por 0,75 para encontrar el precio de venta de cada artículo.

En términos de nuestra matriz que muestra los precios de ambas tiendas, podemos multiplicar cada entrada por el escalar 0,75, y esto nos dará una matriz que muestra todos los precios de venta de cada artículo en cada ubicación. En matemáticas, esto se llama multiplicación escalar y, en general, cuando multiplicamos una matriz por un escalar, simplemente multiplicamos cada entrada en la matriz por ese escalar.

¡Sigamos adelante y apliquemos esto a la matriz de nuestra tienda para encontrar esos precios de oferta!

También podemos poner esto en forma de tabla para mostrar los precios de venta de cada artículo en cada ubicación, si lo desea.

¡Increíble! ¡Ahora sabemos exactamente cuánto cuesta cada artículo en cada ubicación durante esta oferta! ¡Vamos de compras!

Propiedades de la multiplicación escalar

Bien, sabemos que los números en la tierra de la matriz se llaman escalares, y sabemos que la multiplicación escalar implica multiplicar cada entrada en una matriz por un escalar. ¡Hasta ahora tan bueno! Ahora, veamos algunas propiedades diferentes que tiene la multiplicación escalar. Para describir estas propiedades, permiten A y B sean m x n matrices, y permiten una y b sea escalares.

1. Propiedad asociativa: a ( b A ) = ( ab ) A
2. Propiedad conmutativa: a A = A a
3. Propiedad distributiva: ( a + b ) A = a A + b A y a ( A + B ) = a A + a B
4. Propiedad de identidad: 1 A = A
5. Propiedad multiplicativa de 0: 0 A = O , donde O es la matriz m x n con todas las entradas iguales a 0. O se denomina matriz m x n cero .

La mayoría de estas propiedades provienen de cómo se define la multiplicación escalar. Sabemos que la multiplicación normal entre números satisface la propiedad asociativa, conmutativa y distributiva. Dado que la multiplicación escalar implica multiplicar un escalar por cada entrada en la matriz, implica multiplicar números, entonces vemos por qué satisface estas propiedades.

De manera similar, cuando multiplicamos un número por 1, obtenemos ese número de regreso, y cuando multiplicamos un número por 0, obtenemos 0. Por lo tanto, cuando multiplicamos cada entrada en una matriz A por 1, obtenemos el mismo número. fuera, por lo que obtenemos A de regreso, y cuando multiplicamos cada entrada en una matriz A por 0, cambia cada entrada a 0. Es por eso que la multiplicación escalar satisface la propiedad de identidad y la propiedad multiplicativa de 0.

Resumen de la lección

Una matriz m x n es una matriz rectangular de números con m filas yn columnas. Cuando trabajamos con matrices (en tierra de matrices), llamamos escalares a los números regulares . Cuando multiplicamos una matriz por un escalar, se llama multiplicación escalar e implica multiplicar cada entrada en la matriz por ese escalar. Debido a que la multiplicación escalar se define de esta manera e involucra la multiplicación de números de la manera normal, satisface las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas, así como la propiedad de identidad y la propiedad multiplicativa de 0.

Estar familiarizado con la multiplicación escalar, así como con todas sus propiedades, nos permite utilizar y comprender mejor las matrices en general. ¡Incluso en algo tan simple como calcular los precios de oferta en su tienda de ropa favorita! Hablando de eso, ¡vayamos a esa venta!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador