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Funciones polinomiales: propiedades y factorización

Publicado el 3 noviembre, 2020

Polinomios


Gráfica de una función polinomial
Gráfico de ejemplo de función

¿Alguna vez has notado lo aburridas que son muchas funciones? Por ejemplo, la función f (x) = 1… muy aburrida. Una línea recta. Probablemente podamos hacerlo un poco más emocionante agregando x , por lo que nuestra función es f (x) = 1 + x . Eso sigue siendo un poco aburrido; es solo una línea recta, pero al menos tiene un poco de variación. No es solo uno, en algunos lugares es dos. Podemos hacer que esta función sea un poco más interesante restando x ^ 2 de ella. Y podemos hacerlo aún más interesante agregando (1/2) x ^ 3. Ahora estamos empezando a llegar a alguna parte. ¿Sabías que puedes crear una función, simplemente sumando términos como ese, que se parece mucho a sin ( x)? No es necesario agregar demasiados términos para describir lo que le sucede a alguien si recibe un disparo de una bala de cañón. Es posible que no pueda describir lo que sucede cuando golpean el suelo, pero puede describir qué tan alto están y cuándo solo con tres términos.

Nos gustan mucho las funciones en las que empezamos a sumar términos. Estas funciones se conocen como polinomios . En particular, un polinomio es una suma de potencias multiplicadas por constantes, por lo que escribimos esto como f (x) = ( a sub n ) x ^ n + ( a sub n -1) x ^ ( n -1) y así sucesivamente Etcétera. Seguimos disminuyendo n para obtener ( a sub 2) x ^ 2 + ( a sub 1) x ^ 1 + ( a sub 0). Ahora todos estos un sub ns – un sub 1, un sub 2, todo el camino hasta un sub n – Puedo escribir como un sub i , y todas estas son constantes, como 2 o -3.14. Ahora, el gran truco aquí es que x es solo una potencia en cada término, como x ^ n o x , o no aparece en un término, como este, un término sub 0. Nunca verá sin ( x ) o log ( x ) o cualquier cosa que no sea x a alguna potencia. La potencia más grande en esta ecuación, x ^ n, define el orden de este polinomio. En este caso, el polinomio es un polinomio de n -ésimo orden. Si tienes un polinomio como f (x) = x ^ 34 + 2, tienes un polinomio de orden 34.

Polinomios cuadráticos


Un polinomio es una suma de potencias multiplicada por constantes
Suma polinomial de potencias

Entonces, ¿qué haces con los polinomios? Bueno, los polinomios más comunes que verás son cuadráticos . Estos pueden hacer cosas como describir lo que le sucede a la altura de una persona cuando recibe un disparo de una bala de cañón. Los escribimos como f (x) = ax ^ 2 + bx + c . Ahora bien, las cuadráticas son realmente interesantes, no solo por lo que describen, sino también porque sabemos cómo resolverlas. Por ejemplo, si tiene 0 = ax ^ 2 + bx + c , puede resolver, dadas algunas constantes a , b y c , para x . Para hacer esto, usa la fórmula cuadrática .

Factorizar cuadráticas

La otra cosa realmente interesante de los polinomios cuadráticos es que podemos factorizarlos, generalmente con bastante facilidad. Cuando decimos que los vamos a factorizar, vamos a tomar la ecuación completa, f (x) = ax ^ 2 + bx + c , y vamos a encontrar dos cosas que se multipliquen para formar ese todo. . Entonces, por ejemplo, 2 x ^ 2 + 7 x + 3 se puede escribir como (2 x + 1) ( x + 3). Hemos factorizado 2 x ^ 2 + 7 x+ 3 en dos cosas que se pueden multiplicar juntas. Cuando factorizamos un polinomio, específicamente un cuadrático, vamos a buscar cosas que podamos multiplicar para hacer ese cuadrático. Específicamente, buscaremos cosas que tengan la forma de un número por x más algún otro número. Vamos a ver cuántos de estos tenemos que multiplicar juntos para hacer nuestro polinomio.

Echemos un vistazo a un ejemplo. Factoricemos x ^ 2 + 4 x – 12. La primera parte que voy a factorizar es este número que va delante de la x . Para encontrar el número que va delante de la x , miraré el término x ^ 2.

El término x ^ 2 es solo 1 x ^ 2, por lo que 1 se puede factorizar como 1 * 1. Esa es nuestra única opción. Entonces, cada uno de estos 1 irá delante de la x en cada uno de nuestros dos términos. Para obtener el segundo número en nuestros términos, veremos la constante en nuestra cuadrática.


En este ejemplo de factorización, los términos deben tener un producto de -12 y una suma de 4
Ejemplo de factorización de cuadráticas

Este -12 se puede factorizar como -12 * 1, -1 * 12, -2 * 6, -6 * 2, -3 * 4 y -4 * 3. Por lo tanto, cualquiera de estas combinaciones podría incluirse en el segundo número en cada uno de estos términos. Entonces, ¿cuál es? Para determinar cuál es, miramos el término medio en nuestra cuadrática, este 4 x . Ahora 4 x tiene que ser la suma de nuestros dos números. Si sumamos estos dos, 1 y -12, obtenemos -11. 12 – 1 es 11, y así sucesivamente. Ahora, efectivamente, uno de estos números es lo que necesitamos, que es 4. Sabemos que las dos constantes que están en nuestros dos términos son -2 y 6. Entonces puedo reescribir esto como ( x – 2) ( x + 6 ). Ahora sigamos adelante y verifiquemos: ( x – 2) ( x + 6) es x ^ 2 + 6 x– 2 x – 12, que es x ^ 2 + 4 x – 12.

Así que los trucos para cuadráticas de factorización: Utilice la una en frente de su x ^ 2 para determinar los coeficientes de los términos de factorizadas. Va a utilizar c para determinar las opciones para sus constantes y va a utilizar b para determinar cuál de esas opciones utilizar. Ahora, obviamente, puede complicarse muy rápidamente, por lo que debe recordar que no todo se puede factorizar, y la factorización requiere mucha práctica.

Revisión de la lección

Para repasar, los polinomios se pueden usar para describir casi cualquier cosa. Las cuadráticas son nuestros tipos favoritos de funciones porque podemos factorizarlas y podemos resolverlas usando la ecuación cuadrática.

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