Cambio de exponentes en una fórmula
Cuando aprendemos por primera vez a hacer gráficos en álgebra, la gente suele empezar aprendiendo a graficar puntos. A continuación, aprendemos las líneas.
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Luego, aprendemos cómo cambiar exponentes en la ecuación para obtener curvas.
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Si observa detenidamente las imágenes de arriba, verá que cada vez, la variable y no cambió. Simplemente se sentó en el lado izquierdo de la ecuación, por sí solo. Observe a continuación cómo comienzan a formarse las curvas, pero solo se curvan hacia arriba y hacia abajo.
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Dado que hicimos curvas cambiando el exponente de la variable x , ¿qué pasaría si también cambiamos la variable y ? Si elevamos la variable y a la segunda potencia, obtenemos una curvatura en una dirección diferente. En casos especiales donde tanto x como y son al cuadrado, obtenemos la ecuación de un círculo.
Los círculos tienen formas muy especiales y sus gráficos son igualmente especiales. Donde otros gráficos tienen muchas propiedades, los círculos se componen de dos cosas: un centro y un radio. Si conocemos el centro y el radio, podemos dibujar un círculo en la gráfica y escribir su fórmula.
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Fórmula de un círculo
Hay una ecuación especial que usamos para los círculos. La fórmula es ( x – h ) ^ 2 + ( y – k ) ^ 2 = r ^ 2. Un círculo es una forma muy básica pero tiene una fórmula complicada. Para saber si una ecuación es la de un círculo, hay cuatro cosas importantes que recordar. La primera es que las x e Y. términos se elevan al cuadrado. El segundo es que todos los términos de la ecuación son positivos. El tercero es el punto central del círculo es ( h , k ). Finalmente, r representa el radio del círculo.
h y k son las coordenadas del centro, pero no siempre se dan en orden. Una forma fácil de recordar es mirar cada sección de la ecuación. En la primera sección, tenemos x y h en el mismo conjunto de paréntesis. Como están juntos, puedes recordar que h es el valor x del punto central. En la segunda sección, tenemos y y k en el mismo conjunto. Como están juntos, sabemos que k es el valor y del punto central. Al conocer esta fórmula, puede ver rápidamente las coordenadas del punto central de un círculo.
Es bastante fácil recordar que r significa radio. La parte complicada es que debes recordar que r está elevado al cuadrado en la ecuación. A veces, solo se escribirá como un número entero. En ese caso, para encontrar el radio debes sacar la raíz cuadrada. Recuerde, las tres secciones de la ecuación deben cuadrarse, incluso si el radio se muestra como un número entero.
De la fórmula al gráfico
Con cualquier ecuación, es importante que sepamos cómo dibujarla en un gráfico. Es posible que haya dibujado círculos desde que era niño, pero los círculos en un gráfico deben ubicarse en el lugar correcto. El punto central es el punto más importante, por lo que es importante marcarlo primero. Hay una trampa: en realidad no es parte del gráfico. Marque el punto central ligeramente, porque es solo un punto de referencia. Para la ecuación ( x -2) ^ 2 + ( y -1) ^ 2 = 5 ^ 2, ¿dónde está el centro? h = 2 y k = 1. Estas son las coordenadas del punto central (2,1). Recuerde, si h y k son confusos, el número con x es la coordenada x . El número entre paréntesis con y es el y coordenada del centro.
La otra parte importante de este gráfico es el radio. En este caso, el radio r = 5. Para dibujar este gráfico, comenzaremos en el punto central y usaremos el radio para marcar los puntos hacia arriba, abajo, izquierda y derecha. En este caso, comenzamos en el punto (2,1) y avanzamos 5 unidades. Marque ese punto. Vuelve al centro y baja 5 unidades. Haga lo mismo comenzando en el centro y yendo a izquierda y derecha 5 unidades. Utilice estos 4 puntos, que se ven a continuación, como guía mientras dibuja su círculo.
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De gráfico a fórmula
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Cuando vea un círculo en el gráfico, las dos cosas clave que debe saber siguen siendo el centro y el radio. En el círculo de arriba, busquemos el punto central. Recuerde, el punto central no está realmente en el gráfico, así que lo marcaremos ligeramente y lo borraremos cuando terminemos. El centro del círculo estará a medio camino entre la parte superior e inferior del gráfico. También estará a medio camino entre los lados izquierdo y derecho. Encontramos el centro calculando el punto medio entre cada conjunto de puntos. El punto medio es el punto a la mitad de la distancia entre dos puntos . Para encontrar el punto medio, tomamos los valores de x , los sumamos y dividimos por 2. Hacemos lo mismo con los valores de y . Esto nos da el punto medio.
En este caso, queremos tomar el punto medio del punto superior e inferior del círculo. El punto superior del círculo es (-2,4). El punto inferior está en (-2, -2). Encontramos el punto medio sumando los valores de x y dividiendo por 2. -2 + -2 = -4, -4/2 = -2. Ahora haga lo mismo con los valores de y . 4 + -2 = 2, 2/2 = 1. El punto medio es (-2,1) Solo para asegurarnos de que este es un círculo perfecto, necesitamos encontrar el punto medio entre los puntos izquierdo y derecho. Encontrar el punto medio de los valores de x nos da -5 + 1 = -4, -4/2 = -2. El punto medio de los valores de y nos da 1 + 1 = 2; 2/2 = 1. El punto medio para la izquierda y la derecha es el mismo. El centro del círculo es (-2,1), donde h = -2 y k = 1.
Para encontrar el radio de este círculo, podemos comenzar en el centro y contar cuántas unidades necesitamos para llegar a cualquier punto del círculo. Si comenzamos por el centro y subimos, movemos tres unidades para llegar a la parte superior del círculo. El radio de este círculo es r = 3.
Tomamos el centro y el radio y los colocamos en nuestra fórmula circular. La fórmula es ( x – h ) ^ 2 + ( y – k ) ^ 2 = r ^ 2. Sustituya en h = -2, k = 1 y r = 3. Esto nos da ( x – (-2)) ^ 2 + ( y -1) ^ 2 = 3 ^ 2. Simplificar los dos, y la plaza de los tres, y obtenemos la ecuación ( x 2) ^ 2 + ( y -1) ^ 2 = 9. Tenga en cuenta que el X y Y se elevan al cuadrado, y ellos son positivos. Esta es la ecuación del círculo.
Resumen de la lección
Aunque tanto x como y son cuadrados, un círculo no es nada a lo que temer. Todo lo que necesitamos saber es el centro y el radio. Si sabemos estas dos cosas, podemos graficar un círculo o escribir su fórmula. El punto central nos da h y k , y el radio nos da r . Podemos sustituir esto en la ecuación o ponerlo en el gráfico. Las formas pueden ayudarnos a aprender, incluso en matemáticas.
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Los resultados del aprendizaje
Después de completar esta lección, es posible que pueda:
- Escribe la fórmula de un círculo
- Encuentra un punto medio
- Ubique el centro y el radio de un círculo, ya sea usando la fórmula o el gráfico
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