La hipérbola: definición, vértices, focos y gráficos

La hipérbola

¿Qué es una hipérbola ? Simplemente se puede describir como dos arcos uno detrás del otro. ¿Por qué necesitas aprender sobre hipérbolas? Es importante aprenderlos porque son una de las formas que se obtienen al cortar un cono. Imagínese dos conos de gofres de helado, uno encima del otro, con sus puntas tocándose en el medio. Toma un cuchillo y córtalo de manera que puedas cortar ambos conos. La forma que te queda es lo que llamamos hipérbola.

Como ocurre con muchas cosas en álgebra, existe una ecuación para describir esta forma. Y debido a que esto es álgebra, esta ecuación en realidad nos ayuda a describir nuestra hipérbola con precisión. También podemos extraer mucha información útil de él, y podemos graficar nuestra hipérbola simplemente mirando los números y haciendo un poco de matemática básica.

Entonces empecemos.

La ecuación estándar de una hipérbola que usamos es ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 – ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1 para hipérbolas que se abren hacia los lados. Si nuestra hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo, entonces nuestra ecuación estándar es ( y – k ) ^ 2 / a ^ 2 – ( x – h ) ^ 2 / b ^ 2 = 1.

¿Cómo puedes recordar estos? Observe que la h siempre está vinculada con la x y la k con la y . Puedes pensar que h viene antes de k, al igual que x viene antes de y , entonces h con x y k con y . El a ^ 2 siempre viene antes del b ^ 2. Si estás restando la parte y , entonces tu hipérbola estará de lado, pero si estás restando la parte x , entonces tu hipérbola estará vertical. Como ya saben, nuestras variables son x yy . Las letras h , k , a y b están ahí para ayudarnos a describir nuestra hipérbola, como veremos.

Dos vértices

Debido a que nuestra hipérbola está formada por dos arcos, tendremos dos vértices , que son las puntas de los arcos. Podemos encontrar estos vértices mirando nuestra h , k y unos valores. Comenzamos mirando nuestros números h y k . Al juntar las letras como en (h, k) , obtenemos la ubicación del punto central entre los dos arcos, que es el centro de nuestra hipérbola. El un número nos dice que los vértices son que muchos espacios del centro en cualquier dirección.

Si nuestra x es lo primero en nuestra ecuación, entonces vamos a espacios a la izquierda para encontrar un consejo y un espacios a la derecha para encontrar la otra punta. Si la y viene primero, entonces subimos un espacio para encontrar una punta y un espacio hacia abajo para encontrar la otra punta.

Por ejemplo, si nuestra ecuación es ( x – 4) ^ 2/4 – ( y – 2) ^ 2/9 = 1, vemos que nuestra h es igual a 4, nuestra k es igual a 2, nuestra a es igual a 2 porque 2 ^ 2 es igual a 4 y nuestra b es 3 ya que 3 ^ 2 es igual a 9. Encontramos estos valores comparando nuestra ecuación con la forma estándar y viendo qué números están en el mismo lugar que las letras que nos preocupan. Entonces, dado que nuestra h es 4 y nuestra k es 2, nuestro centro es (4, 2). Debido a que nuestra a es 2 y nuestra x aparece primero, nuestros consejos están 2 espacios a la izquierda del centro y 2 espacios a la derecha. Entonces nuestros vértices son (2, 2) y (6, 2).

Observe cómo restamos 2 de nuestro valor x en el punto central para encontrar nuestra punta a la izquierda, y agregamos 2 a nuestro valor x para encontrar la punta a la derecha. Si nuestra y apareció por primera vez en nuestra ecuación, entonces podríamos restar nuestra un valor de la y valor de nuestro punto central para encontrar un consejo y luego añadir el un valor al y valor para encontrar la otra punta.

Dos focos

Además de nuestros dos vértices, también tenemos dos puntos de enfoque o focos. Hay un foco para cada arco. El enfoque es el punto de cada arco donde la relación entre la distancia desde cualquier punto del arco al foco y la distancia desde ese punto a una línea recta es la misma para todos los puntos del arco.

Para encontrar este punto, usamos la fórmula c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Enchufamos la una y b términos de la ecuación estándar para una hipérbola y luego resolvemos para c . Si nuestra x aparece primero en nuestra ecuación estándar, luego sumamos y restamos este valor c del valor x de nuestro punto central para encontrar los focos. Si nuestro valor de y aparece primero en nuestra ecuación estándar, entonces sumamos y restamos nuestro valor de c del valor de y de nuestro punto central para encontrar los focos.

Para continuar con nuestro ejemplo, dado que nuestra a es 2 y nuestra b es 3, nuestra c se puede encontrar resolviendo c ^ 2 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2. Para resolver c , primero calculamos los cuadrados de nuestros números. Obtenemos c ^ 2 = 4 + 9 = 13. Luego sacamos la raíz cuadrada para encontrar que nuestro c = 3.6056. Sumaremos y restaremos este valor c ay de nuestro valor x de nuestro punto central para encontrar nuestros focos, ya que nuestra x aparece primero en nuestra ecuación estándar. Al hacer esto, obtenemos nuestros focos de (0.3944, 2) y (7.6056, 2).

Graficar una hipérbola

Para graficar nuestra hipérbola, usaremos nuestros dos consejos que encontramos anteriormente, y ahora usaremos nuestro valor b . Utilizamos nuestra un valor para encontrar las puntas de los arcos; ahora usaremos el valor b para ayudarnos a graficar nuestra hipérbola. Si las puntas de nuestros arcos son horizontales entre sí, entonces usaremos nuestro valor b para encontrar dos puntos arriba y abajo de nuestro centro. Si nuestras puntas de arco son verticales entre sí, entonces usaremos nuestro valor b para encontrar dos puntos a la izquierda y derecha de nuestro centro.

Para hacer esto, sumamos y restamos nuestro valor b ay del valor y de nuestro punto central para encontrar los puntos arriba y abajo del centro. Para encontrar los puntos a la izquierda y derecha de nuestro centro, sumamos y restamos nuestro valor b del valor x de nuestro punto central.

Una vez hecho esto, tendremos cuatro puntos totales alrededor del centro. Usamos estos puntos como la ubicación de los lados de un rectángulo que bordea nuestro centro.

Una vez que tenemos nuestro rectángulo, podemos dibujar y extender las dos diagonales. Estas líneas diagonales nos dicen qué tan lejos se curva nuestro arco. Podemos dibujar nuestro arco para que pase por la punta y luego se acerque a las líneas diagonales que dibujamos sin cruzarlo.

En nuestro ejemplo, nuestra b es igual a 3. Dado que las puntas de nuestros arcos son horizontales entre sí, sumaremos y restaremos nuestro valor b ay del valor y de nuestro punto central. Al hacer esto, encontramos que nuestros otros dos puntos son (4, -1) y (4, 5). Ahora tenemos cuatro puntos. Podemos seguir adelante y dibujar un rectángulo con lados que pasen por nuestros cuatro puntos. A continuación, dibujamos las diagonales y ampliamos las líneas. Luego terminamos dibujando nuestra hipérbola para que los arcos pasen por sus puntas y se acerquen a las diagonales sin cruzarse.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Aprendimos que una hipérbola se parece a dos arcos uno detrás del otro. También aprendimos que la ecuación estándar de una hipérbola es ( x – h ) ^ 2 / a ^ 2 – ( y – k ) ^ 2 / b ^ 2 = 1 para hipérbolas que se abren hacia los lados. Si nuestra hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo, entonces nuestra ecuación estándar es ( y – k ) ^ 2 / a ^ 2 – ( x – h ) ^ 2 / b ^ 2 = 1. Nuestra hipérbola tiene un centro dado por el punto ( h , k ).

Nuestra hipérbola también tiene dos vértices o consejos. Para hipérbolas que se abren hacia los lados, los vértices están dados por los puntos ( h + a , k ) y ( h – a , k ). Para las hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo, los vértices están dados por los puntos ( h , k + a ) y ( h , k – a ).

Nuestra hipérbola también tiene dos puntos de enfoque o focos. Para las hipérbolas que se abren hacia los lados, los focos están dados por los puntos ( h + c , k ) y ( h – c , k ) donde c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Para las hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo, los focos están dados por los puntos ( h , k + c ) y ( h , k – c ).

Para graficar nuestra hipérbola, usamos el valor b de nuestra ecuación estándar para graficar otros dos puntos además de nuestros vértices. Para hipérbolas que se abren hacia los lados, estos dos puntos son ( h , k + b ) y ( h , k – b ). Para hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo, los puntos son ( h + b , k ) y ( h – b , k). Una vez que tengamos cuatro puntos, podemos dibujar un rectángulo con lados que pasen por cada uno de estos puntos. A continuación, dibujamos dos diagonales y las extendemos. Luego podemos dibujar nuestras hipérbolas para que se acerquen a nuestras líneas diagonales y pasen por sus puntas.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Identificar la forma de una hipérbola
• Recuerde la ecuación estándar para una hipérbola que se abre hacia los lados y para una que se abre hacia arriba o hacia abajo.
• Definir vértices y focos y explicar cómo encontrarlos.
• Explica cómo graficar una hipérbola

Rodrigo Ricardo Editor y fundador