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La suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética

Publicado el 2 noviembre, 2020

Una secuencia aritmética

Nuestra lección en video comienza con una descripción general rápida de lo que es una secuencia aritmética.es. Es una cadena de números donde la diferencia entre cada par de números sucesivos es la misma. Entonces, por ejemplo, nuestra recta numérica es una secuencia aritmética donde la diferencia es 1 entre cada par de números. Esta diferencia entre los pares de números se denomina diferencia común. También puede pensar que una secuencia aritmética le dice cuánto tiene de algo a medida que crece. Digamos que tiene una cuenta de ahorros en el banco. Si comienza con 10 dólares y continúa poniendo 10 dólares en la cuenta todos los días, el saldo de su cuenta se puede escribir como una secuencia aritmética donde la diferencia entre cada par de números es 10. Escribimos nuestra secuencia aritmética entre llaves y con comas entre los números. Escribiendo nuestra secuencia para el banco, tenemos {10, 20, 30, 40,. . .}.

La fórmula de la suma

A veces, queremos sumar los números en nuestra secuencia. Por ejemplo, si nuestra secuencia aritmética muestra cuántas fresas podemos cosechar cada día, la suma de nuestra secuencia nos dirá cuántas fresas en total habremos recogido. Para ello, tenemos una fórmula que nos ayudará. La fórmula dice que la suma de los primeros n términos de nuestra secuencia aritmética es igual an dividido por 2 veces la suma del doble del término inicial, a , y el producto de d , la diferencia común, yn menos 1. El n representa el número de términos que sumamos.


Fórmula de suma aritmética
Suma aritmética

La parte de esta fórmula que usaremos es la parte que sigue al signo igual. La parte antes del signo igual te dice que vas a sumar cada término. Lo que hace esta primera parte es darle una forma de calcular cada término en su secuencia y luego resumirlo. Pero como buscamos lo que equivale a esta suma, solo debemos preocuparnos por la parte que sigue al signo igual.

Usando la fórmula

Para usar esta fórmula, etiquetamos nuestro n , a y d en nuestro problema y luego conectamos los números apropiados y evaluamos. Veamos cómo se hace esto. Digamos que somos productores de fresas, y recogimos 20 fresas el primer día. Esta es la temporada de las fresas, por lo que cada día maduran más y más fresas. Cada día, podemos recoger 5 fresas más que el día anterior. Podemos escribir esto como una secuencia aritmética donde la diferencia común es 5. Escribimos {20, 25, 30,. . .}.

Para saber cuántas fresas podemos recolectar después de 30 días, debemos usar nuestra fórmula de suma. Etiquetamos nuestra n como 30, nuestra a como 20 (ya que ese es nuestro número inicial) y d como 5 (ya que esa es nuestra diferencia común). Ahora que todo está etiquetado, podemos insertar estos números y evaluar para obtener nuestra respuesta. Conectamos nuestros números en la parte de la fórmula que está detrás del signo igual. Obtenemos 30 dividido por 2 veces la suma de 2 por 20 y 30 menos 1 por 5.

Comenzamos a evaluar esta expresión restando primero 30 menos 1 para obtener 29. Luego multiplicamos este 29 con el 5 para obtener 145. Luego multiplicamos el 2 con el 20 para obtener 40. Sumamos el 40 al 145 para obtener 185 Ahora podemos dividir 30 por 2 para obtener 15. Multiplicando 15 por 185, obtenemos 2775. Entonces, después de 30 días, habremos recogido 2775 fresas. ¡Son muchas fresas! ¡Solo piensa en cuántas tartas de fresas puedes hacer con eso!


Ejemplo de cálculo
Suma aritmética

Otro ejemplo

Ahora es tu turno. Vea si puede encontrar la suma de esta secuencia a medida que la sigue. Nuestra secuencia es {5, 7, 9, 11,. . .}. Primero, debemos asegurarnos de que se trata de una secuencia aritmética. Comprobamos cuál es la diferencia entre nuestros números. ¿Es esta diferencia la misma entre cada par de números? Sí lo es. Tenemos una secuencia aritmética con una diferencia común de 2 y un número inicial de 5.

Queremos encontrar la suma de los primeros 10 términos de esta secuencia. Cómo hacemos esto? Sí, usaremos la fórmula de la suma. Vamos a etiquetar nuestros n , a y d para poder insertar estos números en la fórmula para evaluar. Tenemos nuestra n como 10, nuestra a como 5 y nuestra d como 2. Al conectarlos, obtenemos 10 dividido por 2 por 2 por 5 más 10 menos 1 por 2. Al evaluar, obtenemos 10 dividido por 2 por 2 veces 5 más 9 por 2. Esto se convierte en 10 dividido por 2 por 2 por 5 más 18. Ahora tenemos 10 dividido por 2 por 10 más 18. Luego, tenemos 10 dividido por 2 por 28. 10 dividido por 2 se convierte en 5, entonces tenemos 5 por 28. Esta se convierte en nuestra respuesta de 140.


Ejemplo de cálculo
Suma aritmética

Resumen de la lección

¡Hemos terminado! Repasemos ahora. Una secuencia aritmética es una cadena de números donde la diferencia entre cada par de números sucesivos es la misma. Esta diferencia también se conoce como diferencia común. La fórmula para encontrar la suma de los primeros n términos de nuestra secuencia es n dividido por 2 veces la suma del doble del término inicial, a , y el producto de d , la diferencia común, yn menos 1. La n representa la número de términos que estamos sumando. Para usar esta fórmula, etiquetamos nuestros n , a y d para poder insertarlos y evaluar para obtener nuestra respuesta.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, podrá:

  • Definir secuencia aritmética y diferencia común
  • Identificar la fórmula de suma aritmética
  • Explica cómo calcular una suma aritmética usando esta fórmula

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