Las propiedades conmutativas y asociativas y las expresiones algebraicas

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Reglas matemáticas

Las matemáticas están llenas de reglas. Tienes que dividir antes de restar. 2 + 2 tiene que ser igual a 4. Solo puedes comer pastel después de terminar tus verduras. Trabajar con pi siempre te hará pensar en un pastel.

Afortunadamente, hay algunas reglas que simplifican las matemáticas. Son como los viernes casuales de las matemáticas. Son reglas, sí, pero definen cómo se puede aflojar un poco y perder esa corbata.

Propiedad conmutativa

Digamos que quieres saber qué es 3 + 8. ¿Tienes que sumar 8 a 3? ¿O podría agregar 3 a 8? No importa, ¿verdad? Y lo mismo es cierto si quieres saber 2 * 5. Eso es lo mismo que 5 * 2.

Estos ejemplos ilustran la propiedad conmutativa , que establece que el orden de los números cuando sumas o multiplicas no afecta la suma o el producto. En otras palabras, a + b = b + a y ab = ba .

El nombre proviene de la palabra «conmutar». Cuando viaja, ¿qué está haciendo? Te estás moviendo de un lugar a otro. Cuando llegas al final de tu viaje, sigues siendo la misma persona. Bueno, a menos que esté viajando al trabajo usando un teletransportador que funciona mal.

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Tenga en cuenta que la propiedad conmutativa no funciona para la resta o la división. 3 – 8 no es igual a 8 – 3. Y 10/5 no es igual a 5/10. Pero sí se aplica con la suma y la multiplicación.

Práctica conmutativa

Vamos a practicar. Digamos que tiene 2 * 5 * 3. Eso es 30. ¿Qué pasa si lo reorganizamos en 3 * 5 * 2? Todavía 30. 5 * 2 * 3? Todavía 30. 2 * 3 * 5? Sí, todavía 30.

Aquí hay uno con suma: 10 + 7 + 9. Eso es 26. ¿Si lo reorganizamos en 9 + 10 + 7? Todavía 26.

Puede usar la propiedad conmutativa para justificar comer su postre primero en la cena. Después de todo, no importa en qué orden comas la comida, todo termina en tu estómago. Entonces, ¿por qué no pulir ese helado antes de llegar al brócoli? Bueno, eso es lo mismo, pero no exactamente.

Cuando sumas 10, 7 y 9, siempre estás tratando con números constantes. Si tenía todas las partes de su comida dispuestas y estaba seguro de tener espacio para todas en su estómago, entonces el orden realmente no importa. Por supuesto, es posible que los padres de todo el mundo todavía no lo aprueben.

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Propiedad asociativa

Hay otra ley que es similar a la propiedad conmutativa. Para entender esto, imaginemos la venta de garaje más triste del mundo. Vendes tres cosas: un secador de pelo roto por $ 1, una silla de tres patas por $ 4 y una caja de viejas cintas VHS por $ 2.

Digamos que su vecina, la Sra. Lake, compra el secador de pelo. Luego, su otro vecino, el Sr. Rivers, compra la silla y las cintas. Acaba de ganar $ 1 con la Sra. Lake y $ 4 + $ 2 con el Sr. Rivers, eso es $ 7. Si bien eso no te comprará cosas más bonitas, sí te comprará un burrito con guacamole.

Pero, ¿y si la Sra. Lake compraba el secador de pelo y la silla? ¿Y luego, el Sr. Rivers compró solo las cintas? Entonces ganaría $ 1 + $ 4 con la Sra. Lake y $ 2 con el Sr. Rivers. Aún obtendría $ 7. Y todavía obtendrías ese burrito.

Esta triste venta de garaje ilustra la propiedad asociativa , que establece que la forma en que agrupa los números cuando suma o multiplica no afecta la suma o el producto. En otras palabras ( a + b ) + c = a + ( b + c ) y a ( bc ) = ( ab ) c .

Ya sea que la Sra. Lake compre dos artículos y el Sr. Rivers compre uno o la Sra. Lake compre uno y el Sr. Rivers compre dos, usted todavía recibe $ 7.

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Ese fue un ejemplo de suma, pero funciona igual con la multiplicación. Digamos que tiene esto: (5 * 2) * 3. Si recuerda el orden de las operaciones, primero debe manejar las cosas que están dentro del paréntesis. Eso le da 10 * 3, que es 30. Pero, la propiedad asociativa dice que (5 * 2) * 3 es lo mismo que 5 * (2 * 3). Este último formato le da 5 * 6, que es, sí, también 30.

Tenga en cuenta que dije que la propiedad funciona para la suma y la multiplicación. La propiedad asociativa no funciona para la resta y la división.

(7 – 4) – 2 no es igual a 7 – (4 – 2). Con (7 – 4) – 2, primero restas 7 – 4 para obtener 3. Luego haces 3 – 2, para obtener 1. En 7 – (4 – 2), comienzas con 4 – 2, que es 2. Luego haces 7 – 2, que es 5.

Práctica asociativa

Probemos algunos de estos. Aquí hay uno: (5 + 10) + 7. Nuevamente, el orden de las operaciones dice que primero debemos hacer eso 5 + 10. Pero, dado que aquí todo es suma, la agrupación no importa. Entonces, podrías agregar el 10 y el 7 primero. En otras palabras (5 + 10) + 7 = 5 + (10 + 7). No importa cómo lo agrupe, obtendrá 22.

¿Qué tal este: 6 * (2 * 5)? Si primero hace 2 * 5, obtiene 6 * 10, que es 60. Pero, la propiedad asociativa nos dice que podríamos ir (6 * 2), que es 12, luego multiplicar eso por 5, lo que aún nos da 60 .

Resumen de la lección

En resumen, la propiedad conmutativa establece que el orden no importa cuando está realizando solo sumas o solo multiplicaciones. a + b = b + a y ab = ba . Sus términos pueden cambiar sin cambiar el resultado.

La propiedad asociativa establece que la forma en que agrupa los números al sumar o multiplicar no importa. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) y a ( bc ) = ( ab ) c . Sus términos pueden asociarse con quien quiera.