Ley de Conservación del Momento: Definición y fórmula

¿Qué es la ley de conservación del momento?

Todo objeto en movimiento tiene impulso y el impulso se define como el producto de la masa de un objeto por su velocidad. Como ecuación, esto se puede escribir como {eq}p = mv {/eq}, donde p representa el impulso. Dado que la velocidad de un objeto puede cambiar, el impulso del objeto puede cambiar. La ley de conservación del momento es útil para describir el momento de un sistema de objetos. En sus términos más simples, la Ley de Conservación del Momento nos dice que el momento total de un sistema aislado permanece constante. Un sistema aislado es aquel en el que ninguna fuerza externa actúa sobre los objetos del sistema. La cuna de Newton, que se muestra aquí, es una excelente representación visual de la conservación del impulso. Aquí, cuando una bola se mueve y choca con las demás, el impulso de todo el sistema se conserva a medida que el impulso de la bola se transfiere a la bola del otro extremo.

Principio básico y lógica detrás de la ley de conservación del momento

La Ley de Conservación del Momento surge directamente de las Leyes del Movimiento de Newton.

La tercera ley de Newton nos dice que cada acción tiene una reacción igual y opuesta, o que la fuerza que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2 es igual y opuesta a la fuerza que el objeto 2 ejerce sobre el objeto 1. Imagine las bolas que chocan en el escenario anterior. La Tercera Ley de Newton nos dice que la fuerza que ejerce sobre la pelota de la derecha la de la izquierda es igual a la fuerza que ejerce sobre la pelota de la izquierda la de la derecha. La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración, o F = ma. También sabemos que la aceleración es la tasa de cambio de velocidad, por lo que la aceleración nos brinda información sobre el cambio de velocidad de un objeto. Por tanto, la fuerza es directamente proporcional al cambio de impulso de un objeto. Juntarlos nos dice que en un sistema aislado. las fuerzas y el impulso total permanecen constantes. Deduciremos la siguiente ecuación.

Ecuación de conservación del momento

La ecuación que describe la Ley de Conservación del Momento es {eq}p = p’ {/eq}, donde {eq}p {/eq} es el impulso inicial del sistema y {eq}p’ {/eq} es el impulso final del sistema. impulso. Esta ecuación se puede ampliar usando la definición de impulso en {eq}m_1v_1 + m_2v_2=m_1v^\prime_1+m_2v^\prime_2 {/eq}. Aquí, {eq}m_1 {/eq} y {eq}m_2 {/eq} representan las masas del primer y segundo objeto, respectivamente. {eq}v_1 {/eq} y {eq}v_2 {/eq} representan las velocidades respectivas de los objetos, y {eq}v_1^\prime {/eq} y {eq}v_2^\prime {/eq} representan las velocidades de los dos objetos después de la colisión.

Podemos generalizar aún más esta ecuación a un sistema que contiene i objetos mediante {eq}\Sigma m_iv_i=\Sigma m_iv_i^\prime {/eq}.

Es importante señalar aquí que la velocidad es una cantidad vectorial, lo que significa que tiene dirección y magnitud. De manera similar, el momento es una cantidad vectorial, por lo que también tiene magnitud y dirección.

Derivación de la ecuación de conservación del momento

Para derivar la ecuación anterior, comenzamos combinando la segunda y tercera leyes de Newton.

Llamemos a la masa del primer objeto {eq}m_1 {/eq} y a su aceleración {eq}a_1 {/eq}. De manera similar, llamemos a la masa del segundo objeto {eq}m_2 {/eq} y a su aceleración {eq}a_2 {/eq}. La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza del primer objeto es {eq}F_1 = m_1a_1 {/eq}, que es igual y opuesta a la fuerza del segundo automóvil {eq}F_2 = m_2a_2 {/eq} según la tercera ley de Newton. También sabemos que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad, o {eq}\frac{\Delta v}{t} {/eq}. El momento de la colisión es el mismo para ambos coches. Se deduce que {eq}F_1=-F_2\rightarrow m_1a_1=-m_2a_2\rightarrow \frac{m_1\Delta v_1}{t}=\frac{-m_2\Delta v_2}{t} {/eq}.

Nos queda {eq}m_1\Delta v_1 = -m_2\Delta v_2 \rightarrow m_1(v_1^\prime-v_1)=-m_2(v_2^\prime-v_2) {/eq}. Podemos distribuir y reorganizar para obtener la ecuación de conservación del momento:

{eq}m_1v_1^\prime – m_1v_1 = -m_2v_2^\prime + m_2v_2\rightarrow m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1^\prime+m_2v_2^\prime {/eq}.

En esta etapa, podemos introducir un nuevo término: impulso. El impulso, denotado por el símbolo J, es la cantidad de fuerza aplicada sobre un objeto durante un cierto período de tiempo, o {eq}J=F\Delta t {/eq}. Sabiendo que {eq}F_1= \frac{m_1\Delta v_1}{t} {/eq}, podemos escribir {eq}Ft=m\Delta v {/eq} o {eq}J=m\Delta v= \Delta p {/eq}. Esto se llama teorema del impulso-momento, que establece que el cambio en el impulso de un objeto es igual al impulso sobre el objeto.

Aplicaciones de la conservación del momento

Analicemos algunos ejemplos que muestran por qué la conservación del impulso es una idea útil.

Momento de una pared de ladrillos

Imagínate que estás conduciendo un coche. ¿Preferirías golpearte contra una pared de ladrillos o contra un montón de almohadas? Sabemos instintivamente que chocar contra una pared de ladrillos será mucho más destructivo que las almohadas, y la conservación del impulso puede decirnos por qué.

Si un automóvil choca contra una pared, su velocidad se detiene casi instantáneamente. Otra forma de decir esto es que el tiempo de colisión es muy corto. Por el contrario, si golpeas las almohadas, el coche tardará unos segundos en reducir la velocidad por completo hasta detenerse. En ambas situaciones, el cambio en el impulso es el mismo: el impulso del automóvil en movimiento cae a cero después de la colisión. Entonces, ¿por qué la pared de ladrillos causa tanto daño?

El teorema del impulso-momento anterior nos dice que el impulso, o el producto de la fuerza y ​​el tiempo, es igual al cambio de impulso. Como ecuación, esto se puede escribir como {eq}Ft=\Delta p {/eq}. Vimos anteriormente que el tiempo de colisión, o t, es muy pequeño cuando el automóvil choca contra la pared de ladrillos, por lo que la F, o fuerza, es muy alta. El tiempo de colisión con los cojines es relativamente largo, por lo que la fuerza sobre el coche es mucho menor.

Pongámosle algunos números para ver cómo el tiempo de colisión afecta la fuerza. Digamos que el cambio en el impulso del automóvil que se detiene es {eq}1500 \frac{kg\cdot m}{s}{/eq}. El automóvil tarda dos segundos en detenerse cuando golpea las almohadas y 0,1 segundos en detenerse cuando golpea la pared de ladrillos.

Fuerza ejercida sobre el coche al golpear las almohadas:

{eq}F*(2 \; s)=1500\;N\cdot s \\F=750 \;N {/eq}

Fuerza ejercida sobre el coche al chocar contra la pared:

{eq}F*(0,1 \;s)=1500 \;N\cdot s \\F=15000 \;N {/eq}

En este ejemplo, el coche experimenta 20 veces más fuerza como resultado del diferente momento de la colisión.

Colisión de objetos

Las colisiones se ven un poco diferentes cuando ambos objetos están en movimiento. Por ejemplo, consideremos lo que sucede cuando un automóvil choca por detrás a otro. Puede que tengas o no experiencia con esto en la vida real, pero también puedes simularlo empujando coches o trenes de juguete entre sí. Imaginemos que dos coches del mismo tamaño avanzan y el que está detrás choca con el que va delante. Después de chocar, el auto de adelante se mueve más rápido que originalmente y el auto de atrás reducirá la velocidad. La conservación del impulso puede mostrarnos qué tan rápido se mueven estos autos.

Consideremos lo que sucede cuando un camión de 3000 kg que se mueve con una velocidad de 10 m/s choca contra un automóvil estacionado de 1000 kg. El impacto hace que el automóvil de 1000 kg se ponga en movimiento a 15 m/s. Suponiendo que el impulso se conserva durante la colisión, podemos determinar la velocidad del camión inmediatamente después de la colisión.

Sabemos que el impulso antes de la colisión es igual al impulso después de la colisión. El impulso anterior es igual al impulso del camión más el impulso del automóvil. El impulso del camión antes de la colisión es su masa multiplicada por la velocidad, o {eq}p_{truck}=m_{truck}*v_{truck} \\p_{truck}=(3000\; kg)*(10\frac {m}{s})=30000 \;N\cdot s {/eq}

El impulso del automóvil antes de la colisión es {eq}p_{car}=m_{car}*v_{car}=(1000 \;kg)*(0\frac{m}{s})=0 \;N \cdot s {/eq}

Por lo tanto, el impulso del sistema antes de la colisión es {eq}p_{before}=p_{truck}+p_{car}=30000 \;N\cdot s + 0 \;N\cdot s = 30000\; N\cdot s{/eq}

Ahora, veamos el impulso de los dos después de la colisión. No conocemos la velocidad del camión, por lo que no conocemos su impulso. El auto se mueve a 15 m/s, por lo que su impulso es {eq}p_{car}=(1000\; kg)*(15\frac{m}{s})=15000\; N\cdot s {/eq}

También sabemos que el impulso total del automóvil más el camión es el mismo que antes de la colisión, o 30000 Ns. Por lo tanto, {eq}p_{total}=p_{car}+p_{truck}\rightarrow 30000 \;N\cdot s=15000 \;N\cdot s+p_{truck}\rightarrow p_{truck}=15000 \ ;N\cdot s{/eq}, y el impulso del camión es 15000 Ns. El último paso es utilizar el hecho de que el impulso es igual a la masa multiplicada por la velocidad para obtener la velocidad del camión: {eq}p_{truck}=m_{truck}*v_{truck}\rightarrow 15000 \;N\cdot s= (3000 \;kg)*v_{camión}\rightarrow 5\frac{m}{s}=v_{camión} {/eq}

Después de la colisión, el camión avanzaba a una velocidad de 5 m/s.

Resumen de la lección

La Ley de Conservación del Momento establece que el impulso total dentro de un sistema aislado permanece constante. La ecuación de la ley de conservación del momento es {eq}m_1v_1+m_2v_2+…+m_nv_n = m_1v_1^\prime + m_2v_2^\prime +…+m_nv_n^\prime {/eq}, donde {eq}v ^\prime {/eq} representa la velocidad final de cada parte del sistema. El impulso es una cantidad que mide la cantidad de fuerza aplicada sobre un objeto durante un cierto período de tiempo. El teorema impulso-momento establece que el impulso sobre un objeto es igual a su cambio de impulso, o {eq}J=\Delta p {/eq}.