Practique la búsqueda de vectores de desplazamiento

Desplazamiento vs. Distancia

Si sale de su casa, camina por la ciudad, se detiene en varias tiendas y luego regresa a casa, su desplazamiento sigue siendo de 0 millas, ¡incluso si caminó varias millas ese día! El desplazamiento se refiere a qué tan lejos se encuentra actualmente de su punto de partida (a pesar del camino que tomó).

Averiguar el desplazamiento es bastante sencillo cuando camina hacia adelante y hacia atrás en línea recta, pero se vuelve cada vez más complicado cuanto más ángulos agrega. La forma más fácil de pensar en el desplazamiento es, «¿qué tan lejos tendré que caminar para caminar directamente de regreso a mi punto de partida?»

Desplazamiento de una línea

Imagine que está sentado en medio de un avión, donde solo puede caminar hacia arriba o hacia abajo por el pasillo. Si se levanta y camina 20 pies de regreso al baño y luego camina 30 pies hacia adelante más allá de su asiento, ¿cuál es su desplazamiento actual de su asiento?

Caminó 20 pies en la dirección negativa y luego 30 pies en la dirección positiva. Para determinar el desplazamiento, sume estos dos números (incluidos los signos positivo y negativo):

-20 + 30 = 10

Ha sido desplazado a 10 pies de su asiento. Dado que el resultado es un número positivo, estás a 10 pies hacia la parte delantera del avión.

Desplazamiento en bloques

Ahora imagina que estás en una ciudad organizada en bloques iguales con carreteras que se extienden hacia el norte, este, sur y oeste. Después de comenzar en casa (estrella amarilla), camina:

• 3 cuadras al este (punto rojo)
• 2 cuadras al norte
• 1 cuadra al oeste (punto verde)
• 4 cuadras al sur
• 4 cuadras al oeste (punto azul)

¿Cuál es su desplazamiento actual de su hogar?

La línea violeta indica su desplazamiento actual. Observe que si dibujamos una línea a lo largo de los bloques, podemos formar un triángulo rectángulo con dos bloques a cada lado:

Usando el teorema de Pitágoras, resuelva para x para encontrar el desplazamiento:

La sustitución de dos bloques de una y dos bloques de b , resuelva para x :

Podemos simplificar esta ecuación para resolver x:

Después de simplificar la ecuación, encontramos que x = 2.8 bloques. Su desplazamiento es de 2.8 cuadras de su casa.

El desplazamiento y la ley del coseno

Ahora digamos que estás explorando con una brújula. Primero recorre 10 millas 65 grados al este del norte. Desde allí, toma un nuevo rumbo y recorre 6 millas 60 grados al oeste del norte. ¿Cuál es tu desplazamiento?

Comenzó viajando 65 grados al este del norte, que es lo mismo que 25 grados al sur del oeste en su nuevo rumbo: (90 – 75 = 15). Además, 60 grados al oeste del norte son 30 grados al norte del oeste (90 – 60 = 30). Entonces, el ángulo entre la línea de 10 millas y la línea de 6 millas es de 55 grados (30 + 25 = 55):

Resuelve para x usando la ley de los cosenos:

En estos ejemplos, las letras minúsculas representan los lados, mientras que la letra mayúscula representa el ángulo opuesto a ese lado.

Ahora que sabemos que la longitud de los lados de un y b y el ángulo de C, podemos encontrar la longitud del lado c . Conectemos esta información y resolvemos para c :

Podemos simplificar la ecuación para resolver c:

Después de simplificar y resolver, encontramos que la longitud del lado c mide 8.2 millas.

El desplazamiento y la ley del seno

Imagine que, como topógrafo, necesita determinar qué tan lejos están los puntos A y B entre sí; sin embargo, hay demasiados edificios en el camino para que pueda tomar una medición precisa. Entonces usa un láser y lo apunta a 95 grados desde una línea entre los puntos A y B; viaja una distancia desconocida. A una distancia de 16 pies, ilumina otro láser hacia el punto B en un ángulo de 40 grados entre los dos láseres:

¿Cuál es el desplazamiento o la distancia entre los puntos A y B?

En este caso, usaremos la ley del seno, que es:

Conocemos los ángulos A y C y el lado a , y queremos resolver el lado c :

Podemos simplificar la ecuación para resolver c:

Cuando resolvemos para c , encontramos que es igual a 10.3 pies entre los puntos A y B.

Cuándo usar seno o coseno

Al determinar qué ley usar según la información que tiene, hay cuatro opciones diferentes:

• Dos lados y el ángulo entre los dos lados
• Los tres lados
• Dos ángulos y un lado
• Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados

Si tiene alguna de las dos primeras opciones, use la ley del coseno. Si conoce alguna de las dos últimas opciones, utilice la ley del seno.

Resumen de la lección

El desplazamiento es la distancia desde donde empezó. Puede calcular el desplazamiento usando vectores y calculando la suma o usando funciones trigonométricas como las leyes del seno y el coseno.

Utilice la ley del seno cuando sepa:

• Dos ángulos y un lado o
• Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados

Usa la ley del coseno cuando sepas:

• Dos lados y el ángulo entre ellos o
• Los tres lados

Rodrigo Ricardo Editor y fundador