La Matriz Adjunta
Digamos que estamos renovando el piso de nuestra cocina. Las baldosas de terracota tipo arcilla nos llaman la atención. Esta loza le da una agradable sensación de calidez a un espacio, ¡y la forma de matriz es una ventaja! Te hace pensar en todos los diferentes tipos de matrices que existen. ¿Qué tal la matriz adyuvante ?
En esta lección, veremos cómo calcular la matriz adjunta mediante la transposición de la matriz del cofactor. Parece que necesitaremos algunas operaciones especiales para terminar nuestro piso.
Construyendo la Matriz Adjunta
¿Por qué necesitaría una matriz adyuvante? Esta matriz encuentra aplicaciones al invertir una matriz porque la matriz inversa es la matriz adjunta dividida por el determinante. La construcción de la matriz adjunta no es complicada y solo se necesitan dos pasos: encontrar la matriz del cofactor y luego transponer. Echemos un vistazo más de cerca a cada uno de estos pasos, uno a la vez.
Paso uno: encontrar la matriz de cofactores
Imagínese tener una hoja de mosaico con 16 números dispuestos como una matriz de 4×4, como esta:
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Comenzamos con el primer cuadrado en la esquina superior izquierda. Tiene el número 6 en él. Este cuadrado está en la fila 1 y la columna 1. Ahora, imagina eliminar la fila 1 y la columna 1. Podríamos visualizar una línea que tacha horizontalmente la fila 1 y una línea que tacha verticalmente la columna 1, como puede ver que sucede en esta matriz:
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¿Qué nos queda? Sigue siendo una matriz, pero es más pequeña. En nuestro ejemplo, esta matriz más pequeña tiene las filas: 3 5 7, 3 5 6 y 2 6 3. Si tomamos el determinante de esta matriz más pequeña, se llama el menor de la fila 1 y la columna 1. El determinante de una matriz es un número. En nuestro ejemplo, el determinante de esta matriz más pequeña es:
3 [5 (3) – 6 (6)] – 5 [3 (3) – 6 (2)] + 7 [3 (6) – 5 (2)]
= 3 (-21) – 5 (-3) + 7 (8)
= -63 + 15 + 56 = 8
Tomamos este número 8 y lo almacenamos en una nueva matriz en la ubicación fila 1 y columna 1. Repetimos este proceso para cada una de las ubicaciones en la matriz original.
Repitamos estos pasos. ¿Y si quisiéramos el menor para la ubicación: fila 4, columna 3? Imagine la matriz más pequeña después de eliminar la fila 4 y la columna 3, como puede ver:
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La matriz restante tiene las filas 6 4 8, 1 3 7 y 2 3 6. El determinante es:
6 [3 (6) – 7 (3)] – 4 [1 (6) – 7 (2)] + 8 [1 (3) – 3 (2)] = -10
Almacenamos este -10 en la nueva matriz en la ubicación de la fila 4 y la columna 3. La nueva matriz, hasta ahora, se parece a esta matriz:
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Antes de completar las entradas restantes, coloquemos el menor para la fila 2, columna 4. Este número es el determinante de la matriz con las filas 6 4 2, 2 3 5 y 4 2 6. Este determinante es 64. La matriz actualizada parece Me gusta esto:
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De cara al futuro, habrá un «paso de cambio de signo» y un «paso de transposición». Será más fácil ver estos pasos con la matriz parcialmente llena. Es como revisar un plano de planta después de instalar algunas de las nuevas baldosas. Ahora estamos listos para pasar a nuestro segundo paso en el proceso de construcción de nuestra matriz adjunta.
Paso dos: cambio de signo y transposición
La matriz de cofactores está muy cerca de esta nueva matriz que hemos estado construyendo. Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar cada entrada por un +1 o por un -1. Los más y menos se alternan, como puede ver:
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Multiplicar un número por +1 no cambia el número. Multiplicar un número por -1 cambia el signo del número. Imagine colocar esta plantilla de +1 y -1 sobre nuestra nueva matriz. Luego multiplicamos. Por lo tanto, el 8 en la ubicación de la fila 1, la columna 1 se multiplica por +1 y el signo de 8 no cambia. El 64 en la fila 2, columna 4 se multiplica por +1, y el signo de 64 tampoco cambia. Sin embargo, el -10 en la fila de ubicación 4, columna 3 se multiplica por -1, cambiando -10 a +10. La nueva matriz después de multiplicar + 1s y -1s aparece así:
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Una vez que todos los valores están en su lugar y hemos ajustado los signos, la nueva matriz se llama matriz de cofactor . ¿Último paso para encontrar la matriz adyuvante? Transponemos la matriz del cofactor: los números en la diagonal permanecen en la diagonal (en nuestro ejemplo, el 8 permanece fijo) mientras que los números fuera de la diagonal migran sobre la diagonal a la otra mitad de la matriz, como puede ver:
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Ahora, finalmente echemos un vistazo más de cerca a nuestro ejemplo terminado de nuestra matriz adjunta.
Ejemplo
Ahora que se han descrito todos los pasos, veamos el trabajo completado. Nuestra matriz A dada por la matriz aquí aparece como:
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Después de encontrar todos los menores y ajustar los signos, tenemos la matriz de cofactor C, que puede ver tiene los números:
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¿Viste los 8, 64 y 10 que teníamos antes?
Finalmente, como puede ver, tomar la transpuesta de C nos da nuestra matriz adjunta, en la que tenemos:
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¡Ese es un patrón de mosaico interesante!
Resumen de la lección
Dediquemos unos minutos a recapitular todas las cosas importantes sobre las que dedicamos tiempo a aprender en esta lección.
La matriz adjunta de una matriz A es la transpuesta de la matriz del cofactor y encuentra aplicación cuando se invierte una matriz porque la matriz inversa es la matriz adjunta dividida por el determinante. La matriz del cofactor se encuentra calculando todos los menores de la matriz A y ajustando sus signos según la ubicación de las filas y columnas del menor. Un determinante es un número, y un menor en una ubicación de fila y columna específica es el determinante de la matriz más pequeña obtenida al eliminar la fila y columna específicas de la matriz original A. Ahora, debe saber qué es una matriz adjunta, y más lo que es más importante, ¡cómo encontrarlo!
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