Método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales

¿Qué es el método Newton-Raphson?

Tú y tu amigo están jugando a adivinar números. Tu amigo está pensando en un número entre 1 y 10. Adivinas 7, y tu amigo dice que el número debe ser menor. Tu amigo es totalmente honesto, por lo que el número a determinar permanece igual durante el juego. También es de gran ayuda. De hecho, en lugar de simplemente decirle si su número debe ser menor o mayor, su amigo sugiere qué número probar a continuación.

¿Estás pensando en un número?

Eso es más o menos lo que sucede si tu amigo es Newton-Raphson . Se nos presenta el problema de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones. En este caso, se deben determinar varios números desconocidos. Hacemos una conjetura. Newton-Raphson sugiere los siguientes números para probar. Seguimos utilizando las sugerencias y llegamos rápidamente a la solución. Sorprendentemente, el método de Newton-Raphson no conoce la solución de antemano; solo puede sugerir el siguiente número para probar. Tenemos la solución cuando el número sugerido está muy cerca de la última sugerencia.

Configuración para este método

Veamos un ejemplo. Nos gustaría encontrar los valores de x e y que resuelven el siguiente sistema de dos ecuaciones:

Este ejemplo es para dos ecuaciones, pero el trabajo se puede extender a un mayor número de ecuaciones. Además, estas son ecuaciones no lineales en las que nuestros métodos de solución habituales no funcionarán. Newton-Raphson es un método iterativo , lo que significa que obtendremos la respuesta correcta después de varios refinamientos en una suposición inicial. Comenzamos escribiendo cada ecuación con todos los términos en el mismo lado. Luego los hacemos iguales a funciones que podemos llamar f1 y f2:

Si puedes diferenciar funciones como xa una potencia, eso se encargará de la parte de cálculo. Si puede encontrar la inversa de una matriz y multiplicar matrices, estamos bien para la parte de álgebra lineal. He aquí una breve reseña.

Repaso de cálculo y álgebra lineal

Si queremos la derivada de una función como x ^ 3, colocamos el exponente 3 al frente y disminuimos el exponente en 1. La derivada de x ^ 3 se convierte en 3 x ^ 2. Solo para practicar, y debido a que usaremos estos resultados, encontremos las derivadas de f1 y f2.

Primero, la derivada de f1, ¡pero espera! ¿Diferenciamos con respecto a x o con respecto a y ? La respuesta es que hacemos ambas cosas. A esto se le llama tomar una derivada parcial . Diferenciamos f1 tratando x como la variable y todo lo demás como una constante. Cuando tomamos la derivada parcial de x ^ 2 y con respecto a x , tratamos y como una constante, lo que nos da 2 x y como derivada. Aquí está la derivada parcial de f1 con respecto ax :

También podemos tener una derivada parcial con respecto ay , y podemos hacer lo mismo con f2. Eso nos da tres resultados más y tres oportunidades más para practicar con derivadas parciales:

Ahora repasemos brevemente el álgebra lineal. Si tuviéramos una matriz con 2 filas y 2 columnas, podríamos encontrar la inversa usando esto:

Para multiplicar dos matrices juntas, usaríamos esto:

Empaquetar la información

Para hacer las cosas más compactas y organizadas, almacenamos esas derivadas parciales en una matriz especial. Se llama jacobiano y tiene la etiqueta ‘J’. En general, este es el jacobiano para dos ecuaciones:

Podemos soltar esas expresiones de derivadas parciales en el jacobiano para obtener esto:

¡Casi estámos allí! Necesitamos algunas matrices con 2 filas y 1 columna para almacenar la otra información. Este tipo de matriz se denomina vector columna . Aquí están esos vectores de columna:

El vector F contiene nuestras dos ecuaciones, f1 y f2, pero evaluadas con los valores actuales de x e y . La v vector contiene nuestros actuales x e Y. valores.

El método Newton-Raphson

Ahora volvamos al método de Newton-Raphson. Adivinamos x e y . Luego, calculamos la matriz J y el vector F. El producto de la inversa de J con F proporciona una corrección para la conjetura, lo que da la siguiente opción para x e y . Compactamente, el método es este:

¿Recuerdas el juego de adivinanzas? Con Newton-Raphson, funciona así. Nuestros conjeturas para x e y entran en v , la inversa de J y F. Nos multiplicar, sumar, simplificar y finalmente conseguir dos nuevos números. Si estos nuevos números están cerca de la edad x y y , a continuación, hemos terminado. De lo contrario, tomamos estos nuevos valores de X y Y como los siguientes conjeturas. Cada actualización de la suposición se llama iteración .

Como primera aproximación, intentemos algo simple como x = 1 e y = 1. ¡Es hora de la primera iteración! Calculamos J, el inverso de J y F. Aquí están los detalles para calcular J:

Usa la fórmula inversa de una matriz de 2×2 para encontrar la inversa de J:

Luego calcula F:

Ahora podemos actualizar nuestra elección para x e y para la siguiente iteración; pero primero sustituimos en la ecuación de Newton-Raphson y simplificamos. Los subíndices nos ayudan a realizar un seguimiento de los valores actuales y los valores siguientes.

¿Ves dónde se usaron nuestros valores de conjetura en la ecuación? Entran en el término v 0. Después de todo el cálculo en el lado derecho, obtenemos dos números que se asignan a v 1. Este v 1 es nuestra próxima suposición a medida que continuamos refinando la respuesta. ¡Se hace una iteración! La siguiente opción es x = 3.833 e y = 15.833.

Recalculamos J y F en base a los nuevos valores de x e y . Calcule la inversa de J, sustituya todo esto en el lado derecho de la ecuación de Newton-Raphson y obtenga nuevos valores: x = 2.6789 e y = 10.7235.

La siguiente iteración da x = 2.1961 e y = 6.7678.

Cuando hacemos dos iteraciones más, obtenemos x = 2.0005 e y = 5.044. En la iteración siguiente, X e Y han cambiado muy poco, por lo que nos detenemos. En esta última iteración, los valores son x = 2.0000 e y = 5.0000.

Revisemos nuestras respuestas en el sistema de ecuaciones original. Para la primera ecuación:

¡Nuestra respuesta verifica la primera ecuación! Verifiquemos en la segunda ecuación:

¡También lo comprueba aquí!

Newton-Raphson es un jugador maravilloso en el juego de “adivinar un número”.

Resumen de la lección

Al resolver un sistema de ecuaciones no lineales, podemos usar un método iterativo como el de Newton-Raphson . Usando las ecuaciones dadas, calculamos derivadas parciales y el jacobiano. Adivinamos la solución y luego usamos la ecuación de Newton-Raphson para obtener una mejor solución. Este proceso de actualización de la solución continúa hasta que los nuevos valores se acercan a los valores anteriores.