Movimiento rodante y el momento de la inercia

¿Qué es el momento de inercia?

¿Alguna vez has abierto una puerta realmente pesada? Como el tipo de puerta que encontraría en un antiguo castillo medieval. Del tipo con bisagras gigantes y construcción de madera maciza o metal.

Si es así, es posible que haya notado que es mucho más difícil hacer que una puerta pesada se abra que una puerta liviana. También es mucho más difícil hacer que una puerta se mueva empujándola más cerca de la bisagra que empujándola más lejos de la bisagra. Una puerta pesada tiene más masa y una puerta grande tiene más masa lejos de la bisagra. Debido a ambas cosas, podemos decir que tiene un momento de inercia mayor.

La inercia rotacional (también conocida como momento de inercia) es un número que representa cuánta masa tiene un objeto en rotación y cómo se distribuye. Un objeto con más inercia rotacional es más difícil de acelerar.

Medir el momento de inercia

Entonces, ¿cómo podemos medir el momento de inercia? Hay muchas formas, pero hoy veremos un escenario en particular. Vamos a imaginar una bola rodando cuesta abajo sin fricción. Obviamente, en la vida real, siempre hay fricciones, pero vamos a mantener las cosas simples.

Gracias a la conservación de la energía, sabemos que la energía con la que comenzó la pelota debe ser igual a la energía con la que termina. Una bola en la cima de una colina, liberada desde el reposo, solo tiene energía potencial gravitacional, que como aprendimos en otra lección es igual a mgh. Una vez que lo sueltas, comienza a moverse, cada vez más rápido a medida que rueda cuesta abajo. Pero se mueve de dos maneras: traslacional y rotacionalmente. La pelota en su conjunto se traslada cuesta abajo, pero la pelota también gira, rueda. De modo que la energía potencial gravitacional se convierte en una mezcla de energía cinética de traslación y energía cinética de rotación. Nuevamente, aprendimos las ecuaciones para ambos en otras lecciones. La energía cinética de traslación es 1/2 mv al cuadrado y la energía cinética de rotación es 1/2 omega al cuadrado. Solo como recordatorio, m es la masa de la pelota,

Entonces, si podemos medir todo excepto I en esta ecuación, podemos calcular el momento de inercia. Empezamos y descubrimos que la bola tiene una masa de 2 kilogramos, un radio de 0,1 metros y la colina tiene una altura de 2 metros, después de medir varias veces, como todos los buenos científicos. Luego, tomamos un video de la bola rodando colina abajo y usamos algún software de computadora para calcular sus velocidades de traslación y rotación en la parte inferior. Después de hacer eso, digamos que resulta ser una velocidad de 6 metros por segundo y una velocidad angular (o de rotación) de 28 radianes por segundo. ¿Cuál es el momento de inercia de la pelota?

Bueno, todo lo que tenemos que hacer es enchufe números en la ecuación y resuelve para I . Después de hacer un montón de álgebra para hacer que el tema, nos encontramos con esta ecuación:

Conectamos nuestros números y resolvemos, y obtenemos un momento de inercia de 0.00816 kilogramos metros cuadrados.

Valor teórico

¿Qué tan bueno fue nuestro valor experimental? Para hacer esto tendremos que mirar lo que la teoría dice que DEBE ser el momento de inercia de una esfera. Suponiendo que es una esfera sólida, un poco de cálculo nos dice que el momento de inercia de una esfera sólida debería ser igual a dos quintos de la masa multiplicada por el radio al cuadrado. La masa de nuestra esfera era de 2 kilogramos y el radio de 0,1 metros. Entonces, si los conectamos, encontramos que el momento de inercia de nuestra esfera sólida debería haber sido 0.008. ¡Así que estábamos bastante cerca!

Resumen de la lección

Es mucho más difícil hacer que una puerta pesada se abra que una ligera. También es mucho más difícil hacer que una puerta se mueva empujándola más cerca de la bisagra que empujándola más lejos de la bisagra. Una puerta pesada tiene más masa y una puerta grande tiene más masa lejos de la bisagra. Debido a ambas cosas, podemos decir que tiene un momento de inercia mayor. La inercia rotacional (también conocida como momento de inercia) es un número que representa cuánta masa tiene un objeto en rotación y cómo se distribuye. Un objeto con más inercia rotacional es más difícil de acelerar.

Una forma en que podemos medir el momento de inercia de un objeto es rodarlo cuesta abajo. Si podemos medir la masa y el radio del objeto, la altura de la colina y las velocidades (tanto de rotación como de traslación) en la parte inferior de la colina, podemos usarlas para calcular el momento de inercia. Hacemos esto escribiendo y resolviendo una ecuación de energía para el movimiento, una que dice que la energía potencial gravitacional en la parte superior de la colina es igual a la suma de las energías cinética de traslación y rotación en la parte inferior de la colina.

El momento de inercia de un objeto uniforme de forma estándar también se puede calcular mediante cálculo. Luego puede usar este valor teórico para ver qué tan buenas fueron sus mediciones del mundo real.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería poder:

• Definir momento de inercia
• Explica cómo calcular el momento de inercia de un objeto que rueda cuesta abajo.
• Recuerde cómo comparar el valor calculado con el valor teórico