Optimización y diferenciación

Introducción a la optimización

Gráfico que muestra la relación entre las horas de sueño y los puntajes de las pruebas

Los problemas de optimización están absolutamente en todas partes. Por ejemplo, en la universidad aprendí que la cantidad de horas que duermo está directamente relacionada con un puntaje que obtendría en un examen al día siguiente. Así es como se vería. Si no dormía, era un zombi absoluto. Mi puntuación en la prueba no fue muy buena. Luego, alrededor de las cuatro horas, dormí lo suficiente, o eso pensé. Ocho horas era una buena cantidad de sueño, y si dormía demasiado, simplemente no estudiaba lo suficiente, por lo que mi puntaje en la prueba bajaba si dormía más de nueve horas aproximadamente.

Optimizar el problema

Mi objetivo siempre fue optimizar este problema; para encontrar la cantidad de horas que necesitaba dormir para obtener la puntuación más alta del examen. Si miro mis horas de sueño y la puntuación de mi prueba, estoy tratando de encontrar la cantidad de horas que me darán la puntuación más alta. Bueno, eso está aquí a las ocho. ¿Por qué? Porque en este punto, mi puntaje de prueba es un máximo, lo que significa que si pudiera tomar la derivada de esta función, de mi puntaje de prueba como una función del sueño, encontraría que la derivada en este punto es realmente igual a cero.

En este punto máximo, la derivada de la puntuación de la prueba en función del sueño es igual a cero

Bueno. ¿Qué otro problema de optimización? Supongamos que tiene un café y está tratando de minimizar el costo total según la cantidad de mesas que coloque en su café. Entonces, digamos que su gráfico se parece a esto. Quiere encontrar el número de mesas que necesito en mi café para minimizar los gastos generales. Entonces, nuevamente, voy a ver este mínimo de este gráfico. Si puedo tomar la derivada del costo total en función del número de mesas en el café, encontraría que en este mínimo la derivada es cero. Esa es la cantidad de mesas que necesito en mi café y el costo total.

Cinco pasos para la optimización

Entonces, en general, los problemas de optimizaciónestán en todas partes del mundo. Pero realmente desea seguir un enfoque de cinco pasos para resolver problemas de optimización. Primero, desea visualizar el problema. Asegúrese de comprender bien cuál es realmente el problema. Entonces quieres definirlo. El hecho de que pueda visualizarlo no significa que sepa cuál es el problema real. Puedo ver muy bien que la economía no está tan bien en estos días, pero eso no significa que pueda definir exactamente cuál es el problema. El tercer paso es escribir una ecuación. Si no tiene una ecuación, esto es encontrar la gráfica. El cuarto paso es encontrar el mínimo o máximo de esta gráfica o ecuación. Entonces, si estás en un gráfico, puedes buscar el mínimo o el máximo. Pero si no lo eres, tu Vamos a querer encontrar la derivada y ver dónde es igual a cero y determinar si es un mínimo o un máximo. También querrá considerar los puntos finales al encontrar el mínimo o el máximo. El quinto paso es simplemente responder a la pregunta. Mucha gente puede encontrar el mínimo o el máximo, pero debe asegurarse de responder la pregunta que ha definido si tiene un problema de optimización.

Gráfico para el problema de optimización del café

Paso 1: Visualízalo

Por ejemplo, tomemos la calificación de mi examen en función de la cantidad de horas que duermo. Entonces visualicémoslo. Bueno. Así que aquí estoy durmiendo, saliendo baba de mi boca, y aquí estoy estudiando. Es una especie de visualización. Probablemente podría poner a mi padre aquí mirándome muy severamente si no obtengo una buena puntuación o tal vez una boleta de calificaciones.

Paso 2: defínalo

Dos: necesito definir el problema. Bueno, el problema aquí es optimizar la cantidad de horas que duermo con la cantidad de horas que estudio. Necesito saber cuántas horas debo dormir para obtener la puntuación más alta en la prueba. Ese es mi problema.

Paso 3: escribe una ecuación

Entonces necesito escribir una ecuación. Bueno, no tenemos una ecuación exacta para esto, pero tenemos una gráfica. Así que aquí está mi gráfico: puntuación de la prueba en función de las horas que duermo.

Paso 4: Encuentre el mínimo o el máximo

Encuentra el mínimo o el máximo. Bueno, si supiera la función real aquí, podría tomar la derivada y ver dónde es cero y determinar si es un mínimo o un máximo. Pero sé por este gráfico que mi valor máximo está aquí a las ocho horas.

El gráfico muestra que ocho horas de sueño maximizarán la puntuación de la prueba.

Paso 5: Responda la pregunta

Ahora necesito responder la pregunta. Bueno. Ocho horas de sueño maximizarán la puntuación de mi prueba.

Resumen de la lección

Repasemos rápidamente los problemas de optimización . Los problemas de optimización están en todo el mundo físico. Los ves en la economía. Los ve en el análisis de costos de aviones. Los ves en tu propio mundo por cuánto sueño debes dormir, cuánto dinero debes ahorrar o cuánta pintura debes usar. Están por todas partes. Para resolverlos, desea seguir un proceso de 5 pasos:

1. Visualizarlo
2. Definirlo
3. Escribe una ecuación para ello
4. Encuentra el mínimo o el máximo
5. Responde la pregunta

Si hace eso, puede resolver casi cualquier problema de optimización que se le presente.