Diferenciación Implícita: Fórmula y ejemplos

¿Qué es la diferenciación implícita?

La derivada de una función describe la pendiente de la recta tangente a la función en cualquier valor de x en el que se definen la función y su derivada. ¿Qué significa diferenciar una función? Derivar una función es encontrar su derivada algebraicamente. La diferenciación implícita es la diferenciación de una función implícita, que es una función en la que x e y están del mismo lado del signo igual (por ejemplo, 2 x + 3 y = 6). Por el contrario, una función explícita tiene la y sola en un lado del signo igual (p. ej., y= 2 x + 5) de modo que la x y la y estén en lados opuestos del signo igual.

La diferenciación implícita usa la regla de la cadena para tomar la derivada de los términos que incluyen y . Los términos sin una y se diferencian como de costumbre. La regla de la cadena establece que la derivada de un término es la derivada del término con respecto a la variable en el término (en este caso y ) multiplicada por la derivada de esa variable con respecto a x . Así, por ejemplo, la derivada de 2 y es 2 (la derivada de 2 y con respecto a y ) multiplicada por {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} (la derivada de y con respecto a x ) .

Fórmula de diferenciación implícita

Al aprender a hacer diferenciación implícita, algunos estudiantes buscan una fórmula de diferenciación implícita. El método para encontrar una derivada implícita no es tanto una fórmula como un procedimiento, cuyos pasos se detallarán más adelante en este artículo. Sin embargo, una fórmula para la diferenciación implícita de los términos y es, en esencia, la regla de la cadena: {eq}\frac {du}{dx} = \frac {du}{dy} \cdot \frac {dy}{dx} { /eq}, donde u es el término que contiene a y . Esta fórmula muestra que la derivada de un término con y es la derivada del término con respecto a y multiplicada por la derivada de y con respecto a x .

Tenga en cuenta que y ‘ es lo mismo que {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}, por lo que la regla de la cadena también podría escribirse como {eq}\frac {du}{dx} = \frac {du {dy} \cdot y’ {/eq}.

La regla de la cadena se usa para la diferenciación implícita como una forma de lidiar con el hecho de que algunos de los términos que se derivan tienen una y en ellos, mientras que el objetivo final es tomar la derivada únicamente con respecto a x . Tenga en cuenta, sin embargo, que la expresión derivada que resulta de la diferenciación implícita puede involucrar tanto a x como a y aunque la derivada se haya tomado únicamente con respecto a x .

Por ejemplo, la derivada de xy es {eq}(1)y + \frac{dy}{dx}x = y + \frac{dy}{dx}x {/eq} o {eq}y + y’x {/eq}. Esa derivada también hace uso de la regla del producto , que establece que {eq}(fg)’ = f’g + g’f {/eq}. Así como y ‘ significa la derivada de y , f ‘ significa la derivada de f ‘ y g ‘ significa la derivada de g .

Ejemplos de diferenciación implícita

Trabaje con los siguientes ejemplos de diferenciación implícita. Tenga en cuenta que se siguen aplicando las reglas habituales de diferenciación:

• Para encontrar la derivada de un término polinomial, multiplique el exponente por el coeficiente preexistente, luego disminuya el exponente en 1 (p. ej., la derivada de {eq}2x^9 {/eq} es {eq}9(2)x^{ 9-1} = 18x^8 {/eq}).
• La regla del producto: {eq}(fg)’ = f’g + g’f {/eq}.
• La regla del cociente : {eq}\left( \frac fg \right)’ = \left( \frac{f’g – g’f}{g^2} \right) {/eq}

Ejemplo 1 (un
término y )

Encuentra la derivada con respecto a x de {eq}x^2 + y^2 = 36 {/eq}.

El primer término no contiene a y , así que tome la derivada con respecto a x multiplicando el exponente (2) por el coeficiente preexistente (1), luego disminuya el exponente en 1: {eq}\frac d {dx} x^ 2 = 2(1)x^{2-1} = 2x {/eq}.

El segundo término contiene a y , así que use la regla de la cadena: obtenga la derivada con respecto a y multiplicando el exponente (2) por el coeficiente preexistente (1), luego disminuya el exponente en 1 y luego multiplique el resultado por { eq}\frac {dy} {dx} {/eq}: {eq}\frac d {dy}(y^2) \cdot \frac {dy} {dx} = 2(1)y^{2-1 } \cdot \frac {dy} {dx} \\ = 2y \cdot \frac {dy} {dx} . {/eq}

La derivada de una constante (36) es 0, entonces {eq}2x + 2y \cdot \frac {dy} {dx} = 0 {/eq}.

Finalmente, aísla {eq}\frac {dy} {dx} {/eq}: {eq}2x + 2y \cdot \frac {dy} {dx} = 0 \\ 2y \cdot \frac {dy} {dx } = -2x \\ \frac {dy} {dx} = \frac {-2x}{2y} \\ \frac {dy} {dx} = -\frac {x}{y}. {/eq}
Ejemplo 2 (múltiples
términos de y )

Encuentra la derivada con respecto a x de {eq}x^2 – y^2 +4xy = 10 {/eq}.

El primer término no contiene a y , por lo que la derivada con respecto a x es {eq}\frac d {dx} x^2 = 2(1)x^{2-1} = 2x {/eq}.

El segundo término contiene a y , así que usa la regla de la cadena: {eq}\frac d {dx}(-y^2) = \frac d {dy}(-y^2) \cdot \frac {dy}{dx } \\ = 2(-1)y^{2-1} \cdot \frac {dy}{dx} \\ = -2y \cdot \frac {dy} {dx}\\ = -2yy’ . {/eq}

A continuación, el tercer término contiene una x multiplicada por una y , así que usa la regla del producto donde f = 4 x y g = y :

{eq}(fg)’ = f’g + g’f \\ \frac{d}{dx}4xy = 4\cdot y + \frac{dy}{dx}\cdot 4x \\ = 4y + 4x\ frac{dy}{dx} {/eq} o {eq}4y + 4xy’ . {/eq}

La derivada de 10 es 0, entonces {eq}2x – 2yy’ + 4y + 4xy’ = 0. {/eq}

A diferencia del Ejemplo 1, esta ecuación tiene múltiples términos y , así que factorice y ‘: {eq}2x – 2yy’ + 4y + 4xy’ = 0 \\ – 2yy’ + 4xy’ = -2x – 4y \\ y’ (-2y + 4x) = -2x – 4y \\ y’ = \frac {-2x – 4y}{-2y + 4x} . {/eq}

Pautas y pasos de diferenciación implícita

Para encontrar la derivada implícita, use la regla de la cadena en términos que contengan una y y diferencie los términos que no son y como de costumbre. Al realizar los siguientes pasos de diferenciación implícita, ambos lados finalmente se diferencian con respecto a x :

• Diferencie los términos sin una y como de costumbre.
• Para los términos que contienen a y , multiplica la derivada del término con respecto a y por {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}. Para los términos que contienen tanto una x como una y , use la regla de la derivada respectiva (es decir, las reglas del producto y del cociente, como se explicó anteriormente en este artículo).
• Mueve todos los términos con {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} a un signo del signo igual y mueve los otros términos al otro lado del signo igual.
• Factoriza {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} como factor común en el lado y de la ecuación.
• Divide el lado y de la ecuación por todo lo que no sea {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} para aislar {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}.

Resumen de la lección

Una función explícita tiene la y aislada en un lado del signo igual, mientras que todas las instancias de x , si las hay, están en el otro lado. Por el contrario, una función implícita tiene xey en el mismo lado del signo igual. Derivar una función es encontrar su derivada . Para encontrar la derivada de una función implícita, siga estos pasos:

1) Diferencie los términos sin una y como de costumbre. Para términos polinómicos, multiplique el exponente por el coeficiente, luego disminuya el exponente en 1 (p. ej., la derivada de {eq}3x^{10} {/eq} es {eq}10(3)x^{10-1} = 30x^9 {/eq}).

2) Usa la regla de la cadena para términos que contengan una y : multiplica la derivada del término con respecto a y por {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}.

3) Recoge los términos {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} en un signo del signo igual y mueve los otros términos al otro lado de la ecuación.

4) Factoriza {eq}\frac{dy}{dx} {/eq} en el lado y de la ecuación.

5) Divide el lado y de la ecuación por lo que quedó después de factorizar {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}.

La diferenciación implícita aísla {eq}\frac{dy}{dx} {/eq}. Tenga en cuenta que las reglas habituales de diferenciación, como la regla de la derivada respectiva ( regla del producto y regla del cociente ), se aplican a la diferenciación implícita. La regla de la derivada respectiva se usa con frecuencia en problemas de diferenciación implícita porque a menudo contienen términos en los que una x se multiplica o se divide por una y .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador