Permutación y combinación: problemas y práctica

Permutaciones y combinaciones

Tanto las permutaciones como las combinaciones son grupos o arreglos de objetos. Sin embargo, existe una gran diferencia entre ellos. Cuando se trata de combinaciones, el orden de los objetos es insignificante, mientras que en las permutaciones el orden de los objetos marca la diferencia.

Por ejemplo, suponga que tiene 10 monedas en el bolsillo y saca 5, una moneda de diez centavos, dos cuartos, una moneda de cinco centavos y un centavo. Si dije que agarraste esas mismas 5 monedas, pero dije que agarraste 2 cuartos, un níquel, un centavo y un centavo, sigue siendo el mismo grupo de monedas. Es decir, el orden en el que los nombro es insignificante. Por lo tanto, las monedas son una combinación de 5 de 10 monedas.

Ahora considere el escenario en el que estamos hablando de 5 finalistas en una carrera, los corredores A, B, C, D y E. Si les digo que cruzaron la línea en el orden A, B, C, D, E, esto sería Ser diferente que si te dijera que cruzaron la línea en el orden C, B, A, E, D. Por lo tanto, el orden marca la diferencia, por lo que el orden en el que terminan los 5 corredores es una permutación de los 5 corredores.

Solución de problemas de combinación y permutación

Hay dos preguntas que debe responder antes de resolver un problema de permutación / combinación.

1.) ¿Estamos tratando con permutaciones o combinaciones? En otras palabras, ¿importa el orden?

2.) ¿Se permite la repetición? En otras palabras, ¿podemos nombrar un objeto más de una vez en nuestra permutación o combinación?

Una vez que hayamos respondido estas preguntas, usamos la fórmula adecuada para resolver el problema. Estas fórmulas se muestran a continuación.

Problemas de práctica

Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con la solución de este tipo de problemas.

1.) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra AMIGO?

Solución: Empezaremos determinando si estamos tratando con permutaciones o combinaciones. Para hacer esto, considere el arreglo AMIGO y el arreglo DIREFN. Vemos que estos representan dos arreglos diferentes, por lo que el orden de las letras marca la diferencia. Por lo tanto, estamos tratando con permutaciones. Ahora debemos considerar si se permite la repetición. Cuando creamos un arreglo de las letras, colocamos una letra en el primer lugar, luego en el segundo lugar, y así sucesivamente hasta que se llenen los 6 lugares. Una vez que colocamos una letra en un lugar, no podemos ponerla en otro lugar, porque ya se ha utilizado. Por tanto, no se permite la repetición. Sabemos que estamos ante una permutación de 6 objetos (letras) donde no se permite la repetición. Por lo tanto, usamos la fórmula n ! Conectamos 6 para n en la fórmula para obtener lo siguiente.

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Vemos que hay 720 formas de ordenar las letras en la palabra AMIGO.

2.) Suponga que debe seleccionar 3 personas de un grupo de 20 personas. ¿De cuántas formas hay de hacer esto?

Solución: Si seleccionamos a 3 personas, digamos George, Frank y Jessica, seguirá siendo el mismo grupo si dijimos que seleccionamos a Frank, Jessica y George. Por tanto, el orden es insignificante, por lo que se trata de combinaciones. Una vez que hemos seleccionado a una persona, no podemos volver a seleccionarla porque ya está en el grupo. Por tanto, no se permite la repetición. Con base en esta información, usamos la fórmula n C r = n ! / r ! ( n – r ) !, donde ingresamos 3 para r y 20 para n . Hacerlo da lo siguiente.

20! / 3! (20 – 3)! = 20! / 3! 17! = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1140

Por lo tanto, hay 1140 formas de elegir a 3 personas de un grupo de 20.

3.) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 3, 7, 0, 2 y 9?

Solución: Consideremos el número 702 de 3 dígitos formado con 3 de los 5 dígitos. Si cambiamos el orden a 207, esto representa un número diferente. Por lo tanto, el orden marca la diferencia, por lo que estamos tratando con permutaciones. Ahora, podemos hacer el número 777 usando los 5 dígitos dados, porque 7 es uno de los dígitos. Por tanto, se permite la repetición. Vemos que tenemos una permutación de 3 objetos de 5 objetos, donde se permite la repetición. Por lo tanto, usamos la fórmula n ^ r , donde n = 5 y r = 3. Reemplazando estos valores da:

5 ^ 3 = 5 * 5 * 5 = 125

Por lo tanto, podemos hacer 125 números de 3 dígitos a partir de los números 3, 7, 0, 2 y 9.

4.) Hay 9 ciclistas en una carrera de bicicletas. ¿De cuántas formas pueden entrar los tres primeros clasificados?

Solución: Considere que los ciclistas A, B y C terminan en ese orden. Ahora considere que esos mismos ciclistas terminan en el orden C, A, B. Este es un orden diferente de finalistas, por lo que vemos que el orden marca la diferencia, por lo que estamos lidiando con permutaciones. Ahora, considere el motorista A en primer lugar. Ese ciclista ya ha terminado, por lo que el ciclista no puede entrar en segundo, tercero, etc. Por lo tanto, no se permite la repetición. Se trata de permutar 3 de 9 objetos, donde no se permite la repetición. Por lo tanto, usamos la fórmula n P r = n ! / ( n – r ) !, y conectamos 3 para r y 9 para n .

9! / (9 – 3)! = 9! / 6! = 9 * 8 * 7 = 504

Hay 504 formas para que los tres primeros clasificados entren durante una carrera con 9 participantes.

Resumen de la lección

Al resolver problemas de permutación y combinación, primero nos hacemos dos preguntas. Primero, ¿estamos tratando con permutaciones, donde el orden importa o combinaciones, donde el orden no importa? En segundo lugar, ¿está permitida la repetición? Con base en las respuestas a estas preguntas, usamos la fórmula adecuada para resolver el problema planteado.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador