Los polinomios de Pafnuty Chebyshev
Un extraordinario matemático ruso del XIX llamado Pafnuty Chebyshev tenía una forma poco común de pensar sobre la relación entre la teoría matemática y las aplicaciones científicas. Como estudiantes de matemáticas, a menudo preguntamos «¿Para qué sirve esto?» O «¿Cómo se pueden usar estas matemáticas?» En lugar de ver las aplicaciones como beneficiarias de las matemáticas elegantes, Chebyshev tenía una idea más amplia. Vería una aplicación maravillosa y preguntaría si las matemáticas describían adecuadamente la ciencia. De hecho, encontró muchos de sus mayores descubrimientos matemáticos teóricos observando sistemas mecánicos (como máquinas de vapor). Cuando la teoría matemática en ese momento no llegó a explicar adecuadamente cómo funcionaba una aplicación, esto inspiró a Chebyshev a crear una mejor teoría matemática. De esta forma de pensar extendió la idea de polinomios ortogonales a un conjunto de polinomios que ahora llevan su nombre. Avance rápido a nuestro tiempo presente y encontramos el polinomio de Chebyshev íntimamente vinculado con filtros digitales, redes de emparejamiento y otros sistemas de comunicación modernos. ¡Puede haber un filtro Chebyshev en su teléfono inteligente o tableta!
Polinomios ortogonales
Descifrar una palabra ayuda a comprender. ¿Qué pasa con la palabra polinomio ? Si acepta la palabra nomial como un solo término como 1, x o x 2, entonces un polinomio es «muchos» de estos términos juntos como 1 + x . Volveremos a la palabra «ortogonal» más adelante en esta lección. Por ahora, veamos los polinomios de Chebyshev.
El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable en cualquiera de los términos.
El polinomio de Chebyshev de grado cero, T o es:
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Cuando x se eleva a la potencia 0, el grado es 0. Y x 0 = 1.
Por cierto, el nombre de Chebyshev se traduce con una T en lugar de una C en algunos idiomas. Por eso se utiliza la letra «T» para sus polinomios.
Es fácil trazar T o :
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Este es el polinomio de Chebyshev de grado cero. ¿Qué tal un polinomio de primer grado? Correcto, la potencia más alta de x en cualquiera de los términos será 1. El siguiente ejemplo es el polinomio de primer grado de Chebyshev:
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Tracemos T 1 y T o en la misma gráfica.
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Una buena propiedad de los polinomios de Chebyshev es que podemos generar el resto de los polinomios de Chebyshev usando solo estos dos primeros. La ecuación que nos dice cómo hacer esto se llama ecuación de recursión . Es una forma de obtener el siguiente polinomio de Chebyshev si conocemos los dos anteriores. La ecuación de recursión de Chebyshev es, en palabras:
- Multiplica el polinomio actual por 2 x
- De este resultado, reste el polinomio anterior
Por ejemplo, para obtener T 2
- Multiplica T 1 (que es x ) por 2 x dando 2 x 2
- De 2 x 2 restar T o
Así,
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Tómese un momento e intente calcular T 3 por su cuenta.
¿Como hiciste? Para encontrar T 3 , toma 2 x multiplicado por T 2 y luego resta T 1 .
Esto nos da 2 x (2 x 2 – 1) – x que se simplifica a:
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Trazar estos cuatro primeros polinomios de Chebyshev.
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En lugar de generar y trazar más y más polinomios de Chebyshev, usaremos lo que tenemos hasta ahora para profundizar en algunas propiedades fascinantes. Pero primero, veamos la forma general de escribir la recursividad:
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T n +1 es el siguiente polinomio de Chebyshev para encontrar. Los pasos de recursividad son multiplicar el actual, T n , por 2 x y restar el anterior, T n – 1 .
La propiedad ortogonal de los polinomios de Chebyshev
Como prometí, profundicemos en la palabra ortogonal . La palabra «orto» significa recto o recto. Cuando se toma junto con «gonal», estamos describiendo dos líneas perpendiculares que forman un ángulo recto.
Un ángulo recto es un ángulo de 90 o . El coseno de 90 o es cero. Esta es nuestra prueba de ortogonalidad. Mide el ángulo entre dos líneas, calcula el coseno de este ángulo, y si obtenemos 0, entonces las líneas son ortogonales.
Sorprendentemente, en el siglo XIX, ya se sabía cómo hacer una prueba de ortogonalidad similar con polinomios. La prueba:
- Multiplica dos polinomios junto con una función de ponderación.
- Integrar en un intervalo predefinido
- Si obtiene 0, los polinomios son ortogonales
La función de ponderación de los polinomios de Chebyshev es 1 / √ (1 – x 2 ).
Si tomamos dos polinomios de Chebyshev cualesquiera, los multiplicamos junto con la función de ponderación y luego los integramos sobre los valores x = -1 ax = 1, obtenemos cero. La demostración de esta integración se muestra mejor mediante un gráfico.
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Ahora integramos:
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El área bajo la curva es la integral. Por encima del eje x , el área es positiva. Debajo del eje x , el área es negativa.
¿Ves cómo la suma de cantidades iguales de área positiva y negativa da cero? Esto sucede cuando integramos dos polinomios de Chebyshev diferentes de -1 a 1.
Esta propiedad de los polinomios de Chebyshev permite que se utilicen como «base». Brevemente, si tenemos un conjunto de polinomios que son una base, podemos aproximar otras funciones como una suma ponderada de estos polinomios base.
Estas ideas del siglo XIX se aplicaron posteriormente a la aproximación de filtros ideales con filtros digitales. Hoy, tenemos un buen intercambio entre aplicaciones y teoría. Chebyshev ciertamente lo aprobaría.
Resumen de la lección
Un nomial es un término como 1, x y x 2 . Por tanto, un polinomio tiene muchos términos. En esta lección exploramos dos propiedades de los polinomios de Chebyshev: recursividad y ortogonalidad. Todos los polinomios de Chebyshev se derivan de los dos primeros polinomios de Chebyshev y una ecuación de recursión . De manera análoga a las líneas perpendiculares, los polinomios de Chebyshev son ortogonales .
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