Primera ley de Fick: definición, derivación y ejemplos
Introducción a las leyes de Fick
Las leyes de Fick (la primera y la segunda) describen el fenómeno de la difusión , que es cómo los gases y los fluidos se esparcen y se mezclan. Este puede parecer un tema complicado y complicado, pero en realidad no es muy complicado. Puede pensar en un volumen de gas o fluido como una enorme cantidad de objetos (moléculas) increíblemente diminutos que se mueven al azar, en todas direcciones. Se mueven en línea recta hasta que chocan contra una pared o entre sí. Algunos se mueven más rápido que otros, pero hay una regla que dice que su velocidad promedio depende de la temperatura del gas o fluido. Al estudiar las implicaciones de este movimiento totalmente aleatorio, podemos derivar la Primera Ley de Fick con bastante facilidad.
Hagamos un ejemplo, algo fácil de imaginar. Para simplificar las cosas, asumiremos que el movimiento ocurre solo en la dirección x (en lugar de x , y y zdirecciones). Imagínese un estanque de peces que está dividido en dos secciones del mismo tamaño por una barrera removible. Llamaremos a estas secciones izquierda (L) y derecha (R). Sean F (L) y F (R) cuántos peces hay en cada sección. Nos gustan mucho los peces, por lo que F (L) y F (R) tienen una gran cantidad de peces, y los peces chocan constantemente entre sí y contra las paredes mientras nadan. Cuando chocan con algo, cambian de dirección, pero asumiremos que todos nadan a la misma velocidad todo el tiempo. Es importante recordar que las moléculas de gas que vuelan en un contenedor no se mueven todas a la misma velocidad, pero si usamos su velocidad promedio, todo lo que discutimos funcionará.
Quitemos la barrera y observemos un solo pez durante un rato mientras zigzaguea. Estamos interesados en cuánto tiempo le toma moverse de una sección a otra. Este es el tiempo transcurrido desde que cruza el límite en una dirección hasta que lo cruza en la otra. Esto variará de un cruce a otro porque el pez nada en direcciones aleatorias. Pero podemos observarlo durante un par de horas y tomar un promedio, que llamaremos T. Supongamos que medimos T en segundos. Entonces podemos decir que nuestro único pez produce cruces de 1 / T por segundo. Entonces, si cambia de dirección, en promedio, cada 30 segundos, produce 1/30 cruces por segundo.
Esto ya tiene en cuenta que nuestro pez choca con otros peces y no tiene otras interacciones con ellos. Dado que todos nuestros peces tienen la misma velocidad, cada uno producirá cruces de 1 / T por segundo. Si observamos dos peces, veríamos 2 / T cruces por segundo, y así sucesivamente. Entonces, podemos decir que todos los peces F (L) en la sección L producirán cruces F (L) / T por segundo, y su siguiente cruce debe ser de izquierda a derecha. De manera similar, los peces F (R) en la sección R producen cruces F (R) / T por segundo, y su siguiente cruce debe ser de derecha a izquierda.
Por lo general, nos interesan los cruces netos en alguna dirección de referencia, digamos de izquierda a derecha. Podemos escribir eso así:
Tasa = F (L) / T – F (R) / T
Factorizando 1 / T:
Tasa = (1 / T) * (F (L) – F (R))
Factorizando -1:
Tasa = – (1 / T) * (F (R) – F (L))
¡Escribimos esto de la manera final, con el signo negativo porque ahora básicamente hemos llegado a la Primera Ley de Fick!
Primera ley de Fick
Los científicos escriben la primera ley de Fick así:
C = -D * dF / dx
- C representa el flujo (o flujo), de cualquier material que estemos estudiando (la tasa es el flujo en nuestro ejemplo de estanque de peces).
- D es una constante (llamada difusividad) que depende del sistema que se está estudiando; en nuestro caso, eso es 1 / T.
- F es el número de moléculas en una unidad de volumen (como por metro cúbico); eso es completamente análogo a nuestro ‘pescado por sección’ F (L) y F (R). Las moléculas por metro cúbico se denominan a menudo concentración .
- d / dx es la derivada (tasa de cambio) con respecto ax. Realmente no tenemos x en nuestro estanque de peces, pero tenemos las dos secciones, y F (L) -F (R) es nuestro ‘cambio por sección’.
Entonces, nuestra ecuación de estanque de peces coincide término por término con la Primera Ley de Fick.
La ley nos dice que aunque cada molécula se mueve al azar, el movimiento general surge de una concentración no uniforme. En nuestro estanque, si vemos que F (L) baja y F (R) sube, es porque F (L) es más grande que F (R), no por cómo se mueve cada pez. Lo mismo ocurre con las moléculas: las moléculas se mueven desde donde están más apiñadas hacia donde están menos apiñadas. Dado que la ley dice que las concentraciones más bajas siempre suben y las concentraciones más altas siempre bajan, eventualmente obtendremos la misma concentración en todas partes. Eso se llama estado estable .
Debido a que las moléculas son tan pequeñas y tan numerosas, incluso en pequeños volúmenes, podemos usar pequeñas ‘secciones’ y aún así tener una gran cantidad de moléculas en cada una. Entonces, en aplicaciones comunes, la aleatoriedad se promedia completamente y la Primera Ley de Fick se vuelve muy precisa.
La Primera Ley de Fick también funciona en 3D, simplemente se ve más elegante. Básicamente, el flujo en la dirección x es impulsado por dF / dx, el flujo en la dirección y por dF / dy y el flujo en la dirección z por dF / dz. El flujo 3D es, por tanto, un vector que apunta en la dirección del “descenso más pronunciado” de la concentración. Por lo tanto, el movimiento global de las moléculas es tal que las moléculas siguen el camino más corto posible hacia una región menos poblada.
Resumen de la lección
La Primera Ley de Fick nos dice que las moléculas tienden a moverse de regiones más pobladas a regiones menos pobladas, lo que puede ver con nuestro ejemplo de estanque de peces o con algo tan simple como combinar un tipo de líquido con otro. Al promediar el comportamiento aleatorio de moléculas individuales sobre recuentos de moléculas muy grandes, la ley proporciona una descripción precisa de un volumen de gas a pesar de la aleatoriedad subyacente.
Aunque las moléculas mismas nunca dejan de moverse, un gran volumen de gas eventualmente alcanzará un estado estable donde la concentración es la misma en todas partes, y la diferencia entre las concentraciones más alta y más baja es cero. La Primera Ley de Fick se aplica en una, dos o tres dimensiones. El flujo en cada dirección es proporcional a la tasa de cambio de concentración en esa dirección. Recuerde siempre que incluso hay varias moléculas, incluso en pequeños volúmenes, lo que hace que la Primera Ley de Fick sea ideal para aplicaciones cotidianas en el laboratorio.
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