Probabilidad conjunta: definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es la probabilidad conjunta?

La probabilidad conjunta es simplemente la probabilidad de que sucedan dos eventos al mismo tiempo. Es la probabilidad de que evento X se produce al mismo tiempo como evento Y . Suena fácil, ¿verdad? Bueno, hay un par de condiciones. Una es que los eventos X e Y deben ocurrir al mismo tiempo. Lanzar dos dados sería un ejemplo de eso. La otra es que los eventos X e Y deben ser independientes entre sí. Eso significa que el resultado del evento X no influye en el resultado del evento Y. Nuestra tirada de dados es de nuevo un buen ejemplo de eventos independientes, ya que el resultado de tirar un dado no influye en el resultado de tirar el otro. Si su primer dado sale un 1, la probabilidad del segundo dado sigue siendo una probabilidad de 1/6 para cada número entre uno y seis.

Entonces, ¿cuál es un ejemplo de dos eventos que no son independientes? Bueno, ¿qué pasa con el evento X es la probabilidad de que haya nubes en el cielo y el evento Y es la probabilidad de que llueva? Incluso Wally the Wacky Weatherman (¡que se equivoca mucho!) Sabe que la lluvia proviene de las nubes. Entonces, la lluvia solo puede caer cuando hay nubes en el cielo. Eso significa que la presencia de nubes influirá en las posibilidades de lluvia, ¡y eso significa que estos dos eventos no son independientes!

Fórmula de probabilidad conjunta

Jill está jugando un juego de mesa. Es su turno y quiere sacar exactamente un doce para alcanzar su objetivo. La única forma de conseguir esos doce es lanzar un seis en cada dado. Como ya sabemos que lanzar dos dados son eventos independientes, podemos usar la fórmula de probabilidad conjunta para calcular sus posibilidades de éxito. Aquí está la fórmula:

La fórmula de probabilidad conjunta

Si la probabilidad de sacar un seis en un dado es P ( X ) y la probabilidad de sacar un seis en el segundo dado P ( Y ), podemos usar la fórmula P ( X, Y ) = P ( X ) * P ( Y ). Dado que los dados tienen seis lados y la probabilidad de que salga cualquier lado es igual, P ( X ) y P ( Y ) son iguales a 1/6. Por lo tanto, la fórmula se parece a la que aparece en su pantalla en este momento y, finalmente, da como resultado una probabilidad del 2.8%.

Usa la fórmula para calcular la probabilidad de dos seis al lanzar los dados. ¡No muy bueno!

¡Jill tendrá que cerrar los ojos y desear mucho por esos seis!

Otro ejemplo usando la fórmula

A Ike le gusta invertir sus ahorros en la bolsa de valores. Ahora mismo posee dos acciones, la empresa X y la empresa Y . Acaba de escuchar algunas noticias optimistas sobre la economía y cree que las acciones están subiendo hoy. Aprende que la probabilidad de que la acción X suba es del 80% y la acción Y es del 60%. Se pregunta cuál es la probabilidad de que ambas acciones suban. ¡Puede usar la fórmula de probabilidad conjunta para averiguarlo! Este escenario cumple las condiciones de la fórmula, ya que es el mismo día para ambas acciones, y una acción que sube o baja no influye en lo que hace la otra. Eso los convierte en eventos independientes. Convierte las probabilidades porcentuales a decimales y las inserta en la fórmula.

Usa la fórmula para resolver el problema

Vemos que es 80% x 60%, lo que resulta ser una probabilidad del 48%. Ahora esas son probabilidades de casi 50/50. ¡Ike cree que este puede ser un día de suerte!

Resumen de la lección

La probabilidad conjunta es la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes al mismo tiempo. Los dos eventos deben ser independientes , lo que significa que el resultado de un evento no tiene influencia sobre el resultado del otro evento. La fórmula de probabilidad conjunta se usa multiplicando la probabilidad de cada evento independiente por el otro. Para los eventos X e Y con probabilidades P ( X ) y P ( Y ), la probabilidad de que ocurran ambos es P ( X, Y ). Luego:

Fórmula de probabilidad conjunta