Probabilidades como áreas de regiones geométricas: definición y ejemplos

Probabilidad

¿Alguna vez ha intentado calcular sus probabilidades de ganar un sorteo? Muchos procesos en el mundo están asociados con la aleatoriedad y la incertidumbre. En tales casos, no podemos determinar exactamente el resultado futuro, pero podemos hacer predicciones sobre la probabilidad de que se produzcan determinados resultados. En esta lección, aprenderá acerca de las distribuciones de probabilidad como áreas de regiones geométricas y también aprenderá a encontrar valores esperados.

Definición de variables y procesos aleatorios

Una variable aleatoria es el conjunto de todos los resultados posibles asociados con un proceso aleatorio. Dependiendo del proceso, una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Una variable aleatoria discreta describe procesos en los que se puede contar el número total de resultados posibles, mientras que una variable aleatoria continua describe procesos en los que no podemos contar el número total de resultados posibles.

Por ejemplo, podemos usar una variable aleatoria discreta para describir numéricamente la población de cualquier ciudad en un año determinado. Aunque hay muchos resultados posibles, todavía son contables. Cada individuo cuenta como una unidad. No es que un niño cuente como media unidad y alguien de 75 años como 1,75 unidades. ¡Cada persona es una unidad completa distinta!

Por otro lado, se podría utilizar una variable aleatoria continua para describir la distribución de altura de la población de una ciudad. Esto se debe a que la altura se puede medir con una precisión infinita, al menos en teoría. Se puede decir que alguien mide 70.2 pulgadas de alto, 65.500000001 o 70.2384822 pulgadas de alto, etc.

Probabilidades como áreas de regiones geométricas

La función de densidad de probabilidad, f ( x ), debe satisfacer las siguientes condiciones:

Cuando preguntamos sobre la probabilidad de un resultado en particular, nos referimos a un área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. Es decir, si x es la variable aleatoria asociada con la función de densidad de probabilidad, f ( x ), y a <b, entonces tenemos la fórmula que se muestra en la pantalla:

Entonces, supongamos que tenemos la siguiente función de densidad de probabilidad:

La probabilidad de tener exactamente el resultado x _1, denotado P ( X = x _1), es cero. Esto se debe a que estamos tratando con una distribución de probabilidad continua, en la que x _1 tiene una precisión infinita y no tiene ancho a lo largo del eje x , como lo muestran las flechas marrones en la figura. Para estimar la probabilidad de x _1, es necesario definir un pequeño intervalo cerca de x _1, a saber, x _1 + d x . Ahora tenemos un área debajo de la curva, con componentes de altura y ancho que se pueden calcular mediante integración.

Esta, por cierto, es la razón por la que f ( x ) se multiplica por d x en la siguiente expresión integral:

Veamos un ejemplo. Suponga que la función f ( x ) describe la distribución del ingreso anual dentro de una comunidad, en miles de dólares, de la siguiente manera:

Es decir, la probabilidad de que alguien gane menos de $ 18,000 por año es cero, mientras que la probabilidad de un ingreso anual mayor o igual a $ 18,000 varía en función de x .

Ahora responderemos las siguientes tres preguntas:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un ingreso anual de entre $ 40 000 y $ 50 000? Calculamos esta probabilidad observando que 40 es menor o igual ax es menor o igual que 50, y luego conectamos estos límites en la integral tal como se ve ahora:

Al conectar y tragar, obtenemos una respuesta de 0.015.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un ingreso anual de, como máximo, $ 30 000? En este caso, x menor o igual que 30; podemos resolver esto dividiendo la integral en una suma de dos integrales:

Nuevamente, al conectar y tragar, obtenemos una respuesta de 0.066.

3. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un ingreso anual de al menos $ 70 000? Podemos calcular esta probabilidad notando que x es mayor o igual que 70, como se muestra aquí:

Nuevamente, conectando y resoplando, obtenemos una respuesta de 0.043

Valor esperado de las distribuciones de probabilidad

Existe una cantidad útil, llamada valor esperado, que ahora discutiremos. El valor esperado es una medida del centro de la distribución de probabilidad. Si repitiéramos continuamente un proceso aleatorio, el valor esperado representaría el resultado promedio que deberíamos obtener. Para distribuciones de probabilidad discretas, el valor esperado, E ( x ), se calcula de la siguiente manera:

En la ecuación, x _K denota los valores que puede tomar la variable aleatoria, mientras que P ( x _K) denota las probabilidades correspondientes. Para distribuciones de probabilidad continuas, el término de suma se convierte en una integral y podemos calcular el valor esperado de la siguiente manera:

Como ejemplo, considere la función de densidad de probabilidad, f ( x ), que se muestra en la pantalla:

Podemos calcular el valor esperado como puede ver frente a usted para obtener una respuesta de 80:

Resumen de la lección

¿Por qué no resumimos las cosas importantes que comentamos? Discutimos las variables aleatorias discretas y continuas, la función de densidad de probabilidad y el valor esperado asociado con las variables aleatorias tanto discretas como continuas.

Recuerde que una variable aleatoria es el conjunto de todos los resultados posibles asociados con un proceso aleatorio. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Una variable aleatoria discreta describe procesos en los que se puede contar el número total de resultados posibles, mientras que una variable aleatoria continua describe procesos en los que no podemos contar el número total de resultados posibles. El valor esperado es una medida del centro de la distribución de probabilidad. También hemos examinado cómo calcular probabilidades utilizando áreas bajo la curva de la función de densidad de probabilidad.

Términos clave

• variable aleatoria: el conjunto de todos los posibles resultados asociados con un proceso aleatorio
• valor esperado: una medida del centro de la distribución de probabilidad

El valor esperado representaría el resultado promedio que debería obtenerse.

Los resultados del aprendizaje

A medida que aumente su comprensión de la lección, podría:

• Contraste una variable aleatoria discreta y una variable aleatoria continua
• Use la función de densidad de probabilidad y resuelva la probabilidad de un resultado en particular
• Computar el valor inesperado usando distribución de probabilidad discreta

Rodrigo Ricardo Editor y fundador