¿Qué es un ángulo central? – Definición, teorema y fórmula

Definición de un ángulo central

Un ángulo central es el ángulo que se forma cuando dos radios se encuentran en el centro de un círculo. Recuerda que un vértice es el punto donde dos líneas se unen para formar un ángulo. El vértice de un ángulo central siempre será el punto central de un círculo.

Se forma un ángulo central en A.

Reflejo versus convexo

Es importante saber que cuando dos radios se encuentran en el centro de un círculo para crear un ángulo central, también crean otro ángulo en el proceso. El ángulo central convexo es el que se muestra en este diagrama.

Un ángulo central convexo es un ángulo central que mide menos de 180 °.

El ángulo central reflejo que se forma está en el otro lado del ángulo convexo. Los ángulos reflejos miden más de 180 ° y menos de 360 ​​°. Vea esta segunda imagen para notar el ángulo reflejo que se crea en el otro lado del ángulo central convexo.

Se indica un ángulo central reflejo y mide más de 180 grados.

Teorema del ángulo central

Antes de comprender qué es el teorema del ángulo central, debemos comprender qué son los ángulos subtendidos e inscritos, porque son parte de la definición. Un ángulo subtendido es un ángulo creado por un objeto en una posición exterior determinada.

Si no puede entender esa definición, imagine esto: está de pie en el planeta Tierra y mira hacia el sol. Se forma un triángulo de tres lados. Los tres lados son el rayo del sol que va desde la parte superior del sol hasta tus ojos, el rayo que va desde la parte inferior del sol hasta tus ojos y la altura del sol.

El sol está ocultando un ángulo a tus ojos.

Diríamos que el ángulo subtendido por el sol a tus ojos cambia, aunque no mucho, dependiendo de si te mueves hacia adelante o hacia atrás. El ángulo aumentará de tamaño si da un paso hacia adelante y disminuirá si da un paso hacia atrás.

Un ángulo inscrito es aquel que está subtendido en un punto de un círculo por dos puntos identificados en un círculo.

Si no puede entender esa definición, imagínese esto: Imagine que está trotando alrededor de un estanque circular perfecto en su vecindario. Hay dos vecinos, Ed y Tom, en el lado opuesto del estanque, cerca uno del otro, pero en puntos diferentes. Ahora imagina una línea dibujada de Ed a ti y otra de Tom a ti. El ángulo que se crea cuando se dibujan ambas líneas hacia usted es un ángulo inscrito, porque los tres puntos están directamente en el círculo.

El ángulo en su ubicación es el ángulo inscrito.

Ahora que comprende lo que significan ángulos subtendidos e inscritos, podemos avanzar al Teorema del ángulo central.

El teorema del ángulo central establece que el ángulo central subtendido por dos puntos en un círculo siempre será el doble del ángulo inscrito subtendido por esos puntos.

En los tres diagramas que puede ver ahora, puede ver que el ángulo inscrito ADB siempre es la mitad de la medida del ángulo central ACB, sin importar dónde esté el vértice del ángulo (punto D) en el círculo.

El teorema del ángulo central siempre es cierto a menos que el vértice del ángulo inscrito (punto D) se encuentre en el arco menor en lugar del arco mayor.

Veamos primero el arco mayor contra el arco menor:

El arco AB que rodea el área sombreada en azul es el Arco Mayor.

El arco AB que rodea el área sombreada en azul es el Arco Menor.

La longitud entre los puntos A y B se llama longitud de arco (necesitaremos esta información más adelante).

Ahora que conocemos la diferencia entre los arcos mayor y menor, podemos usar la siguiente fórmula para determinar la medida del ángulo inscrito cuando el vértice del ángulo inscrito (punto D) se encuentra en el arco menor en lugar del arco mayor.

Fórmula de ángulo central

Dependiendo de si desea encontrar la medida del ángulo central o la longitud del arco, serán necesarias las siguientes formas de la fórmula del ángulo central:

Para encontrar la medida del ángulo central, cuando sepa el radio y la longitud del arco, use esta fórmula:

Entonces, el ángulo central es esencialmente la longitud del arco multiplicada por 360, los grados de un círculo completo, divididos por la circunferencia del círculo.

Para encontrar la longitud del arco, cuando conozca la medida y el radio del ángulo central, use esta fórmula:

Como puede ver, la longitud del arco es simplemente la circunferencia de un círculo (2πR) multiplicada por la relación entre el ángulo del arco y el ángulo completo de 360 ​​de un círculo.

Resumen de la lección

En resumen, un ángulo central es el ángulo que se forma cuando los radios se encuentran en el centro de un círculo. Hay dos tipos de ángulos centrales. Un ángulo central convexo , que es un ángulo central que mide menos de 180 grados y un ángulo central reflejo , que es un ángulo central que mide más de 180 grados y menos de 360 ​​grados. Ambos forman parte de un círculo completo. Uno no puede existir sin el otro, lo que significa que si el ángulo central convexo mide 60 grados, el ángulo central reflejo sería 300. Se suman 360 completos.

El teorema del ángulo central establece que el ángulo central subtendido por dos puntos en un círculo siempre será el doble del ángulo inscrito subtendido por esos puntos. Pero para comprenderlo completamente, debe comprender la diferencia entre un ángulo subtendido , que es un ángulo creado por un objeto en una posición externa determinada, y un ángulo inscrito , que es un ángulo subtendido en un punto. en un círculo por dos puntos identificados en un círculo. La fórmula para el ángulo central, esencialmente, es la longitud del arco multiplicada por 360, los grados de un círculo completo, divididos por la circunferencia del círculo. Puede verse de esta manera:

Términos clave

Ángulo central : el ángulo que se forma cuando dos radios se encuentran en el centro de un círculo.

Ángulo central convexo : un ángulo central que mide menos de 180 °

Ángulo central reflectante : un ángulo central que mide más de 180 ° y menos de 360 ​​°

Ángulo subtendido : un ángulo creado por un objeto en una posición externa determinada

Ángulo inscrito : un ángulo que está subtendido en un punto de un círculo por dos puntos identificados en un círculo.

Teorema del ángulo central : teorema que establece que el ángulo central subtendido por dos puntos en un círculo siempre será el doble del ángulo inscrito subtendido por esos puntos.

Los resultados del aprendizaje

Utilice esta lección para aumentar su comprensión de los ángulos centrales mientras se prepara para:

• Dar la definición de ángulo central
• Diferenciar entre ángulos centrales convexos y reflejos
• Use el teorema del ángulo central para encontrar el grado de un ángulo subtendido por dos puntos dado el ángulo inscrito por esos puntos
• Aplique la fórmula del ángulo central para encontrar un ángulo central dado el radio y la longitud del arco del círculo.