Resolver desigualdades cuadráticas usando dos binomios

Desigualdades cuadráticas

En la superficie, resolver desigualdades cuadráticas usando dos binomios suena como un tema aburrido y aburrido. Y podría serlo, pero saber cómo hacer esto es útil en el mundo real. Digamos que trabaja en un circo y necesita averiguar cuándo una pelota está debajo de otra pelota cuando lanza cada pelota al aire; puede usar lo que aprenda en esta lección en video para encontrar la respuesta.

Para comenzar, repasemos algunos términos importantes. Una desigualdad cuadrática es una desigualdad en la que, después de mover todos los términos a un lado, terminas con una desigualdad en un lado, así:

• – x ^ 2 + 5 x +6 <0

¿Qué sabemos sobre las expresiones cuadráticas ? Sabemos que, en general, una cuadrática tiene tres términos: un término con una variable al cuadrado, un término con una sola variable y un término con solo un número. El término variable al cuadrado es la parte que hace que la expresión sea cuadrática.

También sabemos que una expresión cuadrática también puede tener menos de tres términos. Siempre que tenga el término variable al cuadrado, entonces es cuadrático. Como tenemos dos lados de nuestra desigualdad, nuestro problema original puede tener términos en ambos lados. Siempre que termine con una desigualdad cuadrática después de mover todos sus términos a un lado, estará trabajando con una desigualdad cuadrática. La siguiente desigualdad, por ejemplo, también es una desigualdad cuadrática.

Ejemplo de desigualdad cuadrática

El problema

Usaremos esta desigualdad para mostrar las dos partes fáciles para resolver desigualdades cuadráticas.

Resolver esta desigualdad nos dirá cuándo la primera bola está debajo de la segunda.

Si nuestra primera expresión cuadrática nos dice el camino de la primera bola, y la segunda expresión cuadrática nos dice el camino de nuestra segunda bola, entonces resolver la desigualdad nos dirá cuándo nuestra primera bola está debajo de la segunda bola.

Entonces, ahora veamos cómo resolver esta desigualdad.

Mover cosas

La primera parte de la solución es mover todo hacia el lado izquierdo. Usaremos habilidades de álgebra para hacer esto. Restaremos y sumaremos los términos del lado derecho a ambos lados de las ecuaciones según sea necesario para despejar el lado derecho. Miramos lo que tenemos en el lado derecho. Tenemos un término -6 y un – x ^ 2. Para mover el término – x ^ 2, lo sumamos a ambos lados y combinamos términos semejantes. Para mover el término -6, también lo agregamos a ambos lados y combinamos términos semejantes. Los términos semejantes son términos con la misma variable y el mismo exponente. Después de hacer esto, terminamos con un cero en el lado derecho. A la izquierda tenemos -x ^ 2 + 5 x + 6.

Hemos movido todos nuestros términos a un lado y ahora tenemos una cuadrática combinada para resolver. Después de esta primera parte, estamos listos para la parte dos, que es resolver la cuadrática combinada para cero y obtener nuestra respuesta.

Resolver para la variable

Para terminar de resolver nuestra desigualdad cuadrática, necesitamos resolver la cuadrática combinada para cero cambiando temporalmente el signo de desigualdad en un signo igual. Podemos usar lo que sabemos sobre la factorización de cuadráticas para encontrar nuestros ceros. Nuestros factores cuadráticos en esto:

• (- x – 1) ( x – 6) = 0

Después de factorizar, para encontrar nuestros ceros, igualamos cada factor a cero y resolvemos la variable. Establecemos el primer factor, – x – 1, igual a cero para encontrar el primer cero. Resolviendo para x , sumamos 1 a ambos lados para obtener – x = 1. Luego multiplicamos por -1 en ambos lados para obtener x = -1 para nuestro primer cero. Establecemos nuestro segundo factor, x – 6, igual a cero para encontrar el segundo cero. Luego sumamos 6 a ambos lados para obtener x = 6 como nuestro próximo cero. Nuestros ceros están ubicados donde x es -1 y 6.

A partir de los ceros que acabamos de encontrar, ahora etiquetaremos un número de rangos según el número de ceros. En nuestro caso, tenemos un rango donde x <-1, otro rango donde x es> -1 y x <6, y un tercero donde x > 6.

Nuestra respuesta correcta es uno de estos rangos. Para averiguar qué rango es la respuesta correcta, podemos graficar nuestra cuadrática combinada o pensar en las propiedades de las cuadráticas. Lo que queremos hacer es encontrar el rango o rangos donde nuestra cuadrática combinada se ajusta a la desigualdad. Para nuestro problema, necesitamos encontrar las partes donde la cuadrática es menor que cero.

Pensemos en las propiedades de las cuadráticas. Sabemos que si el término x ^ 2 es negativo, la cuadrática es una parábola que se abre hacia abajo. Si la parábola se abre hacia abajo, entonces las partes bajo cero son las partes que están fuera de los dos ceros o el área fuera del área media. Entonces, nuestra respuesta son los rangos de x <-1 y x > 6. Nuestra respuesta tiene dos rangos, y está bien. Nuestra respuesta nos dice que cuando x <-1 ox > 6, nuestra primera bola está debajo de la segunda.

Hemos utilizado símbolos menor que y mayor que ya que nuestro problema de desigualdad usa un símbolo menor que en lugar de un símbolo menor o igual que. Si tuviera un signo de desigualdad con una parte ‘o igual’, entonces nuestros rangos de respuesta usarían el símbolo con la parte ‘o igual’ también.

Resumen de la lección

Podemos resumir los pasos que dimos para resolver desigualdades cuadráticas usando dos binomios para estos:

1. Mueve todo al lado izquierdo de la desigualdad.
2. Resuelve el cuadrático combinado para cero mediante factorización.
3. Encuentra los rangos basados ​​en los ceros de la cuadrática.
4. Elija el rango o rangos donde la desigualdad es verdadera.

Resolver este tipo de problemas no es difícil y es útil para encontrar soluciones del mundo real, como nuestro escenario de circo de dos bolas.

Los resultados del aprendizaje

• Reconocer las propiedades de las expresiones cuadráticas
• Sepa cómo resolver la variable
• Enumere los pasos para resolver desigualdades cuadráticas usando dos binomios