¿Qué es la variación inversa?
Tenemos todo tipo de problemas en matemáticas. Uno de ellos se llama variación inversa . Qué significa eso? Significa que a medida que una cosa se hace más grande, otra se hace más pequeña por un factor fijo. Este es el tipo de problema que estaremos considerando en este video.
¿Qué es exactamente la variación inversa? De hecho, lo vemos a nuestro alrededor todo el tiempo. Por ejemplo, piense en cuando se reúna con sus amigos y familiares para comer pizza. Digamos que solo tiene una pizza grande para todos. Si solo sois cuatro en total, entonces todos pueden comer una cuarta parte de la pizza. Pero, ¿y si fueran ocho? Bueno, tu porción de pizza de repente se volvería más pequeña. Cada persona solo obtendría la mitad de un cuarto de pizza, un octavo de pizza. Esta es una variación inversa. A medida que un número aumenta, el otro se reduce.
La formula
Y, siendo esto el álgebra y todo, tenemos fórmulas para la variación inversa. Es y = k / x , donde k es su constante de variación , el número que le dice qué tan rápido o lento cambian las cosas entre sí. Tu y y x son las dos cosas que están cambiando entre sí. Entonces, para nuestro ejemplo de pizza, nuestra y puede ser el tamaño de nuestra porción de pizza y nuestra x puede ser el número de personas.
Cómo resolver
Por lo general, cuando tiene problemas de variación inversa, se le dan dos cosas que están cambiando entre sí. Su trabajo es encontrar su constante de variación y luego usar esa constante para encontrar nueva información. Por ejemplo, volviendo a nuestra fiesta de pizza, nuestro problema podría decir que la cantidad de personas en una fiesta en comparación con la cantidad de pizza que recibe cada persona varía inversamente. Si hay cuatro personas y cada persona recibe una cuarta parte de la pizza, ¿qué cantidad de la pizza obtendría cada persona si hubiera ocho personas?
Para resolver esto, necesitamos buscar nuestro primer punto de datos, que es nuestro primer par de números de las cosas que están cambiando entre sí. En este caso, es que cuando hay cuatro personas, entonces cada persona se lleva una cuarta parte de la pizza. Este es nuestro primer punto de datos. Usaremos este número para encontrar nuestra constante de variación. Para hacer esto, etiquetaremos nuestro número de personas como ‘x’ y nuestra porción de pizza como ‘y’. Luego, reemplazaremos estos números en nuestra ecuación para encontrar k. Al hacer esto, obtenemos 1/4 = k / 4 . Resolviendo esto para k, encontramos que k = 1 . Dado que k es una constante, ahora que hemos encontrado k, sabemos que para todos los puntos de datos en este escenario, k siempre será igual a 1. Usaremos esta información para encontrar nuestro punto de datos faltante.
Resolver desigualdades con suma y resta de fracciones
El problema quiere saber cuánto de la pizza obtendrá cada persona si hay ocho personas. Así que sustituiremos 8 por x y luego resolveremos por y. Entonces tenemos y = 1/8 . ¡Entonces cada persona recibirá 1/8 de la pizza y 1/8 es nuestra respuesta!
Otro problema
Probemos con otro problema. Ocho personas alquilan una cabaña para el fin de semana a 70 dólares cada una. ¿Cuánto pagará cada persona si hay diez personas si hay una relación de variación inversa entre el número de personas y el costo por persona? Primero etiquetamos nuestra x e y. Realmente no importa cómo etiquetemos, siempre que nos ciñamos a nuestras etiquetas xey durante todo el problema. Etiquetaré mi número de personas como ‘x’ y el costo por persona como ‘y’. Entonces, mi primer paso es encontrar mi constante de variación. Mi primer punto de datos es de ocho personas por 70 dólares cada una. Enchufo mi xey en mi fórmula para encontrar k: tengo 70 = k / 8 . Resolviendo para k, obtengo k = 70 x 8 , que es igual a 560 .
Ahora que tengo k, usaré esto para encontrar mis datos faltantes. Tengo 10 personas y quiero encontrar el costo por persona, por lo que mi nueva ecuación es y = 560/10 . Como sé que el costo total de la cabaña es de 560 dólares, resuelvo esto para que y obtenga 56, por lo que cada persona paga 56 dólares. ¡Terminé y 56 dólares es mi respuesta!
Resumen de la lección
¿Así que, qué hemos aprendido? Hemos aprendido que una variación inversa significa que a medida que una cosa se agranda, otra se reduce en un factor fijo. Para resolver este tipo de problemas, usamos la fórmula para problemas de variación inversa, que es y = k / x, donde k es nuestra constante de variación y xey son nuestras dos cosas que cambian entre sí. Nuestro problema normalmente nos dará un punto de datos para x e y. Usamos esto para encontrar nuestra k. El problema nos pedirá que busquemos los datos que faltan para otro punto. Usaremos la k que encontramos desde nuestro primer punto para encontrar el otro punto. Usamos nuestra fórmula dos veces: una vez para encontrar nuestra k y dos veces para encontrar nuestros datos faltantes. Etiquetamos nuestros dos elementos con x e y. No importa cuál etiquetamos con x y cuál etiquetamos con y siempre que nos ciñamos a esta etiqueta a lo largo de nuestro problema.
Resultado de aprendizaje
Una vez que haya terminado de revisar esta lección, debería poder recordar la fórmula y calcular una variación inversa.
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