El tanque
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Digamos que vas a una fiesta, donde tienen una caja grande llena de líquido. Esto podría ser ponche, agua o lo que quieras. Esta caja tiene unos 50 cm de profundidad, 10 cm de ancho y unos 20 cm de alto. El caudal que sale de la caja al abrir el grifo es de unos 50 centímetros cúbicos por minuto (que es de unos 50 ml / seg).
El problema del tanque de drenaje
¿Qué tan rápido baja el nivel de agua (o bebida) en el tanque? Para resolver esto, primero determinemos cuánto líquido hay en el tanque. Puedo escribir el volumen en el tanque como V = (área del fondo) * (altura del líquido en el tanque), entonces V = 10 * 50 * h , entonces son 500 centímetros cúbicos.
La altura del líquido en el tanque está cambiando, así que lo llamaremos h . Ahora tenemos V = 500 h . Digamos que diferencio ambos lados de esta ecuación con respecto a dt . Entonces obtengo dV / dt (cómo cambia el volumen de líquido en el tanque con el tiempo) = 500 (dh / dt) (cómo cambia la altura en función del tiempo).
Tarifas relacionadas
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Esto se llama tasa relacionada . Relacionamos la altura y cómo cambia con el tiempo con el volumen y cómo cambia con el tiempo. Lo hicimos tomando la derivada de una relación que conocemos (en este caso, el volumen en función de la altura).
Tenemos dV / dt = 500 (dh / dt) . Bueno, dV / dt es el caudal que sale de este tanque o caja. Sabemos que el líquido sale a una velocidad de 50 cm cúbicos / seg. Eso nos da -50 (porque el volumen está disminuyendo). Conectando eso, tenemos -50 = 500 (dh / dt) . Puedo resolver eso para dh / dt y obtengo que la altura está cambiando a una velocidad de -0,1 cm / seg. Esto significa que la altura desciende 1 mm / seg.
El papel de RR.HH. en el desarrollo y la implementación de políticas relacionadas con la tecnología
Digamos que, mientras piensas en esto, estás llenando un pequeño vaso de papel que hiciste en forma de cono. Desea saber qué tan rápido está cambiando la altura del líquido en su cono. Sabes que el volumen de líquido en tu cono es igual a 1/3 de la altura del líquido en tu cono multiplicado por el área de base más grande de líquido en tu cono.
Echemos un vistazo a una sección transversal de este cono, que es un círculo con un radio. Sabes que el cono que hiciste tenía un radio que es la mitad de la altura. Entonces, en la parte superior la altura del cono puede ser de 10 cm, el radio es de 5 cm y el diámetro es de 10 cm. Puede escribir V = 1/3 h (pi ( h / 2) ˆ2). Puede simplificar esto para que V = pi / 12 * h ˆ3. Ahora tienes una relación entre la altura y el volumen.
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¿Y si tomas las derivadas de ambos lados? Entonces obtendrás dV / dt = pi / 12 * 3 h ˆ2 (dh / dt) , porque tuve que usar la regla de la cadena para d con respecto a t . Esto se simplifica a dV / dt = pi / 4 * h ˆ2 (dh / dt) . Ahora ha relacionado el cambio de volumen con el cambio de altura. Sabemos que el cambio de volumen es 50 porque sabemos que 50 centímetros cúbicos entran en su taza cada segundo. Si conectamos eso, terminamos con 50 = pi / 4 * h ˆ2 (dh / dt). Puedo resolver esto para el cambio de altura (eso es lo que quería saber, qué tan rápido se está llenando la taza), por lo que puedo resolverlo como dh / dt = 200 / pi * 1 / h ˆ2.
Esto parece extraño, significa que mi altura no cambia constantemente. Significa que está cambiando según la altura actual del líquido en el cono. Esto tiene sentido. Si lo piensa, cuando comienza a llenar su cono en h = 1 y agrega mucho líquido, la velocidad cambia a 64 cm / seg. Cuando h = 2, cuanto más líquido agregue, no hará una diferencia tan grande en su altura por segundo (la tasa de cambio es de solo 16 cm / seg). Cuando llegas a h = 4, el cambio de altura es de solo 4 cm / seg. Cuando tenga cuatro centímetros de líquido en su cono, el nivel del líquido no cambiará tan rápido. Esto tiene sentido intuitivamente. Coge un cono y empieza a llenarlo de agua. El nivel de líquido comienza a llenarse rápidamente y luego se ralentiza a medida que sube.
Todos estos se conocen como tasas relacionadas. Otras tasas relacionadas serían si tuviera un círculo y cambiara el radio, ¿cómo cambia dr / dt dA / dt ? Entonces, ¿cómo cambia el área cuando cambia el radio? Si tiene una parcela de tierra rectangular y cambia el área (por lo que aumenta el área con el tiempo), ¿cómo cambia el perímetro de esa parcela? Todos estos se conocen como tasas relacionadas.
Historia de la Ley de Tarifas Payne-Aldrich
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Resumen de la lección
Resumamos, en un problema de tarifas relacionado, está tomando una relación que conoce. Como y = f (x) , área en función de la altura, volúmenes en función de la altura o área en función de la anchura. Diferencia esto para encontrar cómo cambian las variables que conoces entre sí. Si cambio la altura 1 cm / seg, ¿qué pasa con el volumen? Estos se conocen como tasas relacionadas .
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