Teorema del resto y teorema del factor: definición y ejemplos

El procedimiento de división

Los polinomios de grado 3 o superior a veces pueden ser difíciles de factorizar. La división larga y la división sintética son métodos que se pueden utilizar para factorizar polinomios. Estos métodos son muy efectivos, por lo que debes practicarlos. Sin embargo, los estudiantes siempre aprecian un atajo.

Aquí es donde entran en juego el teorema del resto y el teorema del factor. Después de completar esta lección, sabrá cómo usar estos teoremas para encontrar residuos y factores de polinomios. Sin embargo, es importante señalar que estos teoremas no proporcionan tanta información como otros métodos, pero la información que proporcionan a veces es lo suficientemente buena.

Antes de presentar los teoremas, comencemos con un problema simple que enumere los factores de 27. Probablemente podríamos enumerar fácilmente los factores como 1, 3, 9 y 27. Estos números son factores porque se dividen uniformemente en 27. En otras palabras, si dividimos por el factor 3, el resto es cero. Este hecho puede parecer bastante obvio al dividir con números enteros, pero es importante comprender esta propiedad al dividir con polinomios.

Si dividimos 27 por otros números, crearemos un resto. Por ejemplo, si dividimos 27 entre 7, obtendremos un resto de 6.

Encontrar factores de polinomios, como expresiones cuadráticas, puede ser un poco más difícil. Bueno, factorizar expresiones cuadráticas generalmente no es demasiado difícil para el estudiante de álgebra experimentado. ¿Qué hay de encontrar factores de polinomios que tengan un grado de 3 o más? En otras palabras, el término principal tiene un exponente superior a 2, como en el siguiente ejemplo:

x ^ 3 + 2 x ^ 2-11 x – 12

Aquí podemos usar división larga o división sintética para encontrar los factores de este polinomio. Estos métodos son muy efectivos. Sin embargo, el propósito de esta lección es mostrar alternativas que se pueden utilizar.

Teorema del resto

Primero establezcamos el teorema del resto . El teorema del resto establece lo siguiente:

Si divide un polinomio f (x) por ( x – h ), el resto es f (h) .

El teorema establece que nuestro resto es igual a f (h) . Por lo tanto, no necesitamos usar una división larga, solo necesitamos evaluar el polinomio cuando x = h para encontrar el resto.

Deberíamos entender por qué este teorema es cierto. ¿Por qué funciona esto?

Establezcamos nuestro problema de división usando la notación del teorema. Si dividimos algún polinomio f (x) con un divisor en forma de ( x – h ) del cual h es un número real, entonces obtendremos un cociente, que llamaremos p (x) , y un resto, que llamaremos r . Nuestro problema de división se verá de la siguiente manera:

f (x) / (x – h) = p (x) con un resto de r

Como hicimos con nuestros problemas de división simple en números enteros, podemos manipular esta función para obtener lo siguiente.

f (x) = (x – h) * p (x) + r

Digamos que queremos evaluar nuestro polinomio en x = h . Por lo tanto, ( x – h ) = ( h – h ) = 0. Veamos las siguientes declaraciones. La declaración 1 muestra nuestra ecuación. En el enunciado 2, sustituimos x por h . Luego simplificamos en los enunciados 3 y 4.

1. f (x) = (x – h) p (x) + r (ecuación)
2. f (h) = (h – h) p (h) + r (sustituye h por x )
3. f (h) = (0) p (h) + r (simplificar)
4. f (h) = r (simplificar)

¿Ves lo que nos dice esto? Como dice nuestro teorema, podemos encontrar el resto simplemente evaluando f (h) . ¡Podemos saltarnos la división larga!

Ejemplo 1

f (x) = x ^ 3 + 2 x ^ 2-11 x – 12

Encuentre el resto si f (x) se divide por x – 2.

El teorema del resto nos dice que h = 2, así que evalúa f (2). Reemplazamos x con 2 en el polinomio de la siguiente manera:

f (2) = 2 ^ 3 + 2 (2) ^ 2-11 (2) – 12

Luego simplificamos: f (2) = 8 + 8 – 22 – 12 = -18

Esto nos dice que si dividimos el polinomio por ( x – 2), obtendremos un resto de -18. Esto también nos dice que ( x – 2) NO es un factor del polinomio.

Ejemplo 2

f (x) = x ^ 3 + 2 x ^ 2-11 x – 12

Encuentre el resto si f (x) se divide por x + 4.

Simplemente reemplazamos x con -4 en el polinomio de la siguiente manera:

f (-4) = (-4) ^ 3 + 2 (-4) ^ 2 – 11 (-4) – 12

Luego simplificamos: f (-4) = -64 + 32 + 44-12 = 0

Esto nos dice que si dividimos el polinomio entre ( x + 4), obtendremos un resto de cero.

El ejemplo 2 también nos dice algo más. Si el resto es cero, entonces ( x + 4) debe ser un factor del polinomio. Esto también nos dice que -4 es una solución del polinomio. En otras palabras, la gráfica de esta cruces polinómicas la x eje x en x = -4.

¡Encontramos un factor del polinomio sin usar una división larga!

Teorema del factor

Ahora podemos enunciar el teorema del factor . El teorema del factor establece lo siguiente:

Un polinomio f (x) tiene un factor ( x – h ) si y solo si f (h) = 0.

Este teorema es bi-condicional, lo que significa que cada condición es un efecto de la otra:

• Si un polinomio f (x) tiene un factor de ( x – h ), entonces f ( h ) = 0.
• Si f (h) = 0, entonces ( x – h ) es un factor del polinomio f (x) .

Ejemplo 3

Determina si x – 2 es un factor de x ^ 3 – 3 x – 2.

El teorema del factor nos dice que evaluemos f (2).

f (2) = 2 ^ 3 – 3 (2) – 2 = 8 – 6 – 2 = 0

f (2) = 0, entonces x – 2 es un factor de x ^ 3 – 3 x – 2.

Resumen de la lección

El teorema del resto y el teorema del factor son herramientas muy útiles. Nos dicen que podemos encontrar factores de un polinomio sin usar división larga, división sintética u otros métodos tradicionales de factorización. El uso de estos teoremas es algo así como un método de prueba y error. Esto significa que es posible que deba evaluar un polinomio en varios valores antes de encontrar los factores. Para una expresión cuadrática, los métodos tradicionales de factorización podrían ser más efectivos. Sin embargo, para polinomios de grado 3 o superior, el teorema del resto y el teorema del factor pueden ser muy útiles.

Resultado de aprendizaje

Revise esta lección para aprender cómo:

• Enuncie el teorema del resto y el teorema del factor.
• Implementar los teoremas para encontrar los factores de una ecuación polinomial
• Evalúe y simplifique polinomios a medida que trabaja con los ejemplos proporcionados

Rodrigo Ricardo Editor y fundador