Definiciones de transformaciones
Las transformaciones geométricas implican tomar una preimagen y transformarla de alguna manera para producir una imagen . Hay dos categorías diferentes de transformaciones:
- La transformación rígida , que no cambia la forma ni el tamaño de la preimagen.
- La transformación no rígida , que cambiará el tamaño pero no la forma de la preimagen.
Tipos de transformaciones
Dentro de las categorías rígidas y no rígidas, hay cuatro tipos principales de transformaciones que aprenderemos hoy. Tres de ellos caen en la categoría de transformación rígida y uno es una transformación no rígida.
- Rotación : rotar un objeto alrededor de un punto fijo sin cambiar su tamaño o forma.
- Traducción : mover un objeto en el espacio sin cambiar su tamaño, forma u orientación
- Dilatación : expandir o contraer un objeto sin cambiar su forma u orientación.
- Reflexión : voltear un objeto a través de una línea sin cambiar su tamaño o forma
¿Por qué la dilatación es la única transformación no rígida? Recuerde que en una transformación no rígida, la forma cambiará su tamaño, pero no cambiará su forma.
Ejemplos
1. ¿Qué figura representa la traslación de la figura amarilla?
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La respuesta es P. Es la única figura que es una traducción. La figura P es un reflejo, por lo que no mira en la misma dirección. La figura R es más grande que la figura original; por tanto, no es una traducción, sino una dilatación.
2. ¿Qué tipo de transformación está representada por esta figura?
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La preimagen se ha girado alrededor del origen, por lo que la transformación que se muestra es una rotación.
Cómo realizar transformaciones
La mayoría de las transformaciones se realizan en el plano de coordenadas, lo que facilita el recuento y el dibujo. La mejor manera de realizar una transformación en un objeto es realizar las operaciones requeridas en los vértices de la preimagen y luego conectar los puntos para obtener la figura.
Una traducción se realiza moviendo la preimagen el número solicitado de espacios.
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Mueva la figura anterior a la derecha cinco espacios y hacia abajo tres espacios. Si toma cada vértice del rectángulo y mueve el número solicitado de espacios, dibuje el nuevo rectángulo. Esta será tu imagen traducida:
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La forma matemática de escribir una traslación es la siguiente: ( x , y ) → ( x + 5, y – 3), porque ha movido cinco espacios positivos en la dirección x y tres espacios negativos en la dirección y .
La rotación de un objeto implica mover ese objeto sobre un punto fijo. Para rotar una preimagen, puede utilizar las siguientes reglas. Para rotar un objeto 90 °, la regla es ( x , y ) → (- y , x ). Puede utilizar esta regla para rotar una preimagen tomando los puntos de cada vértice, traduciéndolos de acuerdo con la regla y dibujando la imagen. Por ejemplo, si los puntos que marcan los extremos de la preimagen son (1, 1) y (3, 3), al rotar la imagen usando la regla de 90 °, los puntos finales de la imagen serán (-1, 1 ) y (-3, 3).
Las reglas para las otras rotaciones de grados comunes son:
- Para 180 °, la regla es ( x , y ) → (- x , – y )
- Para 270 °, la regla es ( x , y ) → ( y , – x )
Volviendo a nuestro ejemplo, si la preimagen se girara 180 °, los puntos finales serían (-1, -1) y (-3, -3). Si se gira 270 °, los puntos finales serían (1, -1) y (3, -3).
Así es como se verían todas esas rotaciones en un gráfico:
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El reflejo de una figura geométrica está creando la imagen especular de esa figura a través de la línea de reflejo. Para dibujar un reflejo, simplemente dibuje cada punto de la preimagen en el lado opuesto de la línea de reflexión, asegurándose de dibujarlos a la misma distancia de la línea que la preimagen. He aquí un ejemplo:
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En este ejemplo, la preimagen es un rectángulo y la línea de reflexión es el eje y . Para dibujar la imagen, simplemente trace los puntos del rectángulo en el lado opuesto de la línea de reflexión.
El punto (-5, 4) se refleja en (5, 4) El
punto (-5, 2) se refleja en (5, 2) El
punto (-2, 4) se refleja en (2, 4) El
punto (-2, 2) se refleja a (2, 2)
Luego, conecta los vértices para obtener tu imagen.
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Las imágenes también se pueden reflejar en toda la y eje x y a través de otras líneas en el plano de coordenadas. Cada reflejo sigue el mismo método de dibujo.
La dilatación de una figura geométrica expandirá o contraerá la figura en función de un factor de escala predeterminado . Para realizar una dilatación, simplemente multiplique cada lado de la preimagen por el factor de escala para obtener las longitudes de los lados de la imagen, luego grafique.
En este ejemplo, el factor de escala es 1,5 (ya que 2 * 1,5 = 3), por lo que cada lado del triángulo se incrementa en 1,5. Las medidas de los ángulos permanecen iguales.
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Resumen de la lección
Las transformaciones matemáticas implican cambiar una imagen de alguna manera prescrita. Hay cuatro tipos principales de transformaciones: traslación , rotación , reflexión y dilatación . Estas transformaciones se dividen en dos categorías: transformaciones rígidas que no cambian la forma o tamaño de la preimagen y transformaciones no rígidas que cambian el tamaño pero no la forma de la preimagen.
Los resultados del aprendizaje
Una vez que haya completado esta lección, debería tener la capacidad de:
- Definir transformaciones matemáticas e identificar las dos categorías.
- Describe los cuatro tipos de transformaciones.
- Explica cómo crear cada uno de los cuatro tipos de transformaciones.
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