Usando el teorema de Pitágoras para resolver problemas 3D

Teorema de pitágoras

Suponga que una escuela primaria está construyendo un nuevo gimnasio en la jungla para su patio de recreo. Los constructores que crearon el gimnasio de la jungla lo han diseñado para que tenga la forma de un gran prisma rectangular.

Después de erigir la estructura, los constructores deciden que quieren agregar dos barras de metal más, una como una diagonal del lado frontal de la estructura y la otra desde la esquina frontal inferior hasta la esquina superior trasera de la estructura.

Para hacer esto, necesitan encontrar la longitud de las barras. Afortunadamente, tenemos una buena fórmula para hacerlo. El teorema de Pitágoras establece que si un triángulo rectángulo tiene longitudes de los lados un , b , y c , donde c es el lado más largo (o la hipotenusa ), entonces la siguiente fórmula se tiene:

• a 2 + b 2 = c 2

Observe que la barra agregada que está en el rectángulo frontal de la estructura forma un triángulo rectángulo con los dos lados de ese rectángulo. La barra agregada es la hipotenusa y las otras dos longitudes de los lados son 3 metros y 4 metros. Por lo tanto, si hacemos que a = 3, b = 4 y c sea ​​la longitud de barra agregada, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar c .

Vemos que la barra de metal que es la diagonal del rectángulo frontal deberá tener una longitud de 5 metros. ¡Eso fue bastante fácil! Este es un ejemplo del uso del Teorema de Pitágoras para un problema bidimensional.

¿Y el otro bar? Éste es parte de toda la estructura, por lo que ahora estamos trabajando en tres dimensiones. Todavía podemos usar el Teorema de Pitágoras. Solo tendremos que extenderlo a tres dimensiones, ¡lo cual no es demasiado difícil de hacer!

Teorema de Pitágoras en problemas 3D

Una forma de resolver problemas tridimensionales usando el teorema de Pitágoras es similar a los problemas bidimensionales, pero es posible que necesitemos usarlo más de una vez para encontrar lo que estamos buscando.

Considere la barra agregada que se extiende desde la esquina inferior delantera hasta la esquina superior trasera de la estructura. No es una diagonal de un rectángulo obvio, pero sí forma un triángulo rectángulo con la diagonal del rectángulo inferior y la altura de la estructura.

Sabemos que la altura de la estructura es de 3 metros, por lo que tenemos un lado del triángulo rectángulo. Si podemos encontrar la longitud de la diagonal del rectángulo inferior, tendríamos dos lados del triángulo y podríamos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la barra de metal agregada. ¿Cómo podemos encontrar la longitud de la diagonal de ese rectángulo inferior? Si estás pensando en el Teorema de Pitágoras, ¡estás entendiendo la idea!

Vemos que la diagonal del rectángulo inferior forma un triángulo rectángulo con los dos lados del rectángulo inferior, y sabemos que las longitudes de los lados son 4 metros y 2 metros. Por lo tanto, reemplazamos a = 4 y b = 2 en el Teorema de Pitágoras y resolvemos para c .

Obtenemos que la diagonal del rectángulo inferior tiene una longitud de √ (20). ¡Increíble! Ahora, podemos usar el teorema de Pitágoras nuevamente, pero esta vez con a = 3 y b = √ (20), para encontrar la longitud de la barra de metal agregada.

¡Ah-ja! Solo necesitamos usar el Teorema de Pitágoras dos veces para lograr que la barra de metal agregada que va desde la esquina frontal inferior hasta la esquina superior trasera del gimnasio de la jungla tenga una longitud √ (29), o aproximadamente 5,4 metros.

Todo esto tiene sentido, pero resulta que este proceso se puede compactar en un solo paso utilizando la versión tridimensional del Teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras 3D

Existe una versión 3D del Teorema de Pitágoras que se puede aplicar a prismas rectangulares, como el gimnasio de la jungla en nuestro ejemplo. Observe cómo primero tuvimos que encontrar la diagonal del rectángulo inferior usando la longitud y el ancho de la jungla. Es decir, si dejamos que la longitud de un prisma rectangular sea l , el ancho sea w y la diagonal del rectángulo inferior sea m , entonces por el teorema de Pitágoras:

• m 2 = l 2 + w 2

Ahora considere la diagonal del prisma rectangular (la barra de metal agregada del gimnasio de la jungla). Llámalo d . si la altura del prisma rectangular es h , entonces una vez más por el Teorema de Pitágoras, tenemos

• d 2 = h 2 + m 2

Acabamos de encontrar que m 2 = l 2 + w 2 , por lo que podemos conectar esto para que m 2 obtenga:

• d 2 = h 2 + l 2 + w 2

¡Esto da el Teorema de Pitágoras 3D !

Usando esto para nuestro ejemplo de la gimnasia de la jungla, simplemente conectamos l = 4, w = 2 y h = 3 y resolvemos para d para encontrar la longitud de la barra de metal agregada de la gimnasia de la jungla.

Una vez más, conseguimos que la barra metálica tendrá una longitud aproximada de 5,4 metros. ¡Fácil, y los constructores tienen toda la información que necesitan para terminar el gimnasio de la jungla!

Resumen de la lección

El teorema de Pitágoras establece que si un triángulo rectángulo tiene longitudes de los lados un , b , y c , donde c es el lado más largo (o la hipotenusa ), entonces la siguiente fórmula se tiene:

• a 2 + b 2 = c 2

Esta versión bidimensional del Teorema de Pitágoras se puede extender a tres dimensiones en el Teorema de Pitágoras 3D , que establece que si un prisma rectangular tiene longitud l , ancho w , altura h y diagonal d , entonces se cumple la siguiente fórmula:

• l 2 + w 2 + h 2 = re 2

Al ver que vivimos en un mundo tridimensional, esta información es más útil para situaciones del mundo real, por lo que definitivamente queremos mantener encerrada en nuestro diario matemático mental para usarla en el futuro.