Usar un gráfico para definir límites
Los límites de mi coche
He estado en algunos viajes por carretera moviéndome por todo el país, y durante cada viaje por carretera, llegué a las montañas. Ahora no sé ustedes, pero cuando mi auto choca contra las colinas, siempre es una aventura. No importa cuánto pise el acelerador, mi automóvil nunca va a más de 45 millas por hora. La colina parece limitar mi velocidad.
Así que grafiquemos esto. Digamos que grafica la velocidad en función de la profundidad del pedal. Digamos que mi velocidad es de 1 milla por hora porque los autos nunca se detienen del todo. A medida que presiono más el pedal, mi velocidad aumenta, aumenta, aumenta, pero si estoy en una colina, llego a unas 45 millas por hora. No importa cuánto empuje, simplemente no puedo superar las 45 millas por hora. Ahora sabemos que esta es una asíntota horizontal , pero también podemos llamarla límite .
Ejemplos de límites
Hay límites por todas partes. Desde, obviamente, mi coche en una colina, hasta la velocidad terminal cuando saltas de un avión y estás haciendo paracaidismo. Vas a alcanzar cierta velocidad y no irás más rápido que eso; eres limitado. La paciencia de mi madre es limitada, etcétera. Pero matemáticamente, consideramos los límites como funciones cuando nos acercamos, digamos, a un número. Entonces, ¿qué significa esto?
Límites de un péndulo
Consideremos un péndulo. Entonces, un péndulo, digamos que su reloj, está tratando de hipnotizar a alguien, se balancea hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una cuerda. Ahora puedo ver la ubicación a lo largo de x en función del tiempo, y tal vez cuando lo libere de cero, el tiempo aquí es cero. El péndulo pasa y hace una oscilación, y en el otro lado el tiempo es de aproximadamente 6. Entonces, si grafica la ubicación del péndulo y marco el tiempo que está en una ubicación en particular, podría obtener algo que se parece a esto. A medida que avanzamos en el tiempo, sabemos que la ubicación del péndulo seguirá esta línea, y en t= 4, esperamos que se acerque y llegue a este punto. Si comenzamos en 5 segundos, digamos aquí, podemos revertir el tiempo, y si revertimos el tiempo, vemos que el péndulo se acercará al mismo punto donde estaba en t = 4. El límite de la ubicación del péndulo está aquí en t = 4.
Puedo graficar eso de otra manera. Si grafica la ubicación como una función del tiempo, mi gráfico se aproxima a la ubicación en t = 4 tanto desde el lado izquierdo donde el tiempo está aumentando como desde el lado derecho donde el tiempo está disminuyendo. Podría decir que el límite de la posición a medida que nos acercamos al tiempo de las 4 está aquí.
Ejemplos de límites en matemáticas
Veamos algunos ejemplos matemáticos. Veamos la función el valor absoluto de x , o | x |. El gráfico de | x | parece una ‘V’, y sabes que a medida que te acercas al valor x = 0, f (x) será igual a 0. Digamos que f (0.1) = 0.1, f (0.01) = 0.01, f (0.001) = 0.001, f (0.00000001) es … bueno, entiendes la idea. Si lo abordamos desde el otro lado, obtenemos el mismo comportamiento. f (-0,1) = 0,1, f (-0,01) = 0,01 y así sucesivamente. En ambos casos, el valor de esta función se acerca a cero a medida que avanzamos ax = 0.
¿Qué pasa con una función que no es continua? Entonces, para una función que no es continua, como f (x) = x para x menor o igual a cero, y f (x) = 1 para x mayor que cero, cuando nos acercamos a x = 0 desde el lado izquierdo lado, nuestra función se acerca al valor de cero. A medida que nos acercamos a x = 0 desde el lado derecho, nuestra función se acerca al valor de 1. Esto podría ser algo a considerar un poco más adelante. ¿Qué pasa con la función f (x) = 3 ( x ) ^ 2? Bueno, hay un límite en, digamos, x = 2.
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x f (x) f (x)
Resumen de la lección
Entonces, realmente, los límites le dicen lo que sucede con las funciones cuando se acerca a algún valor. Para viajes por carretera, eso puede ser un pedal a fondo como una asíntota. Sin embargo, para los péndulos, esto es lo que sucede a medida que se acerca a un punto determinado en el tiempo. En el caso de los gráficos, consideramos esto como lo que le sucede a su función cuando se acerca a algún valor de x .
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