Vector de posición: fórmula y ejemplos

¿Qué son los vectores de posición?

Es un hermoso día para tomar un café con tu amigo. El plan es reunirse en Carl’s Coffee Cafe, comprar los cafés y luego beberlos en la terraza. Pero, ¿qué pasa si se detiene primero en Barbara’s Bagel Bakery para tomar un bagel? Además, en el camino está Alice’s Apple Auction, donde puedes comprar una manzana. Dibujas un mapa. Veamos, la subasta de Apple está a cuatro cuadras al este de su casa. The Bagel Bakery está a dos cuadras al norte de Apple Auction. El Coffee Cafe está a dos cuadras al oeste de Bagel Bakery. ¿Qué pasa si tu amigo te llama y te pregunta por tu puesto? Más precisamente, su amigo entusiasta de las matemáticas le pregunta específicamente por su vector de posición , que recuerda es la representación de un punto dentro de un espacio dado en relación con un punto de origen. En esta lección, veremos cómo podría responder.

Mapeando el viaje

¿Cómo hemos viajado en esta expedición? Comenzando desde Home, ve cuatro cuadras hacia el este para comprar esa manzana. Cuando estamos en la subasta de Apple, nuestra posición es cuatro positivo a lo largo del eje x . El este es x positivo y el oeste es x negativo . Por supuesto, la y positiva será el norte y la y negativa será el sur. Es habitual utilizar vectores unitarios para mostrar la dirección. El vector unitario que apunta en la dirección x positiva es la letra ‘I’ con un sombrero encima, î. Cuando escribe 4î, está diciendo que su posición está cuatro unidades a la derecha de Inicio . La medida de unidadespueden ser pies, millas o cualquier unidad de medida conveniente. En nuestro ejemplo de pausa para el café, una unidad es lo mismo que un bloque.

¿Cuál es tu puesto cuando estás en Bagel Bakery? Eso es cuatro unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba. Usando vectores unitarios, su posición en Bagel Bakery es 4î + 2ĵ. Tenga en cuenta que para la dirección y positiva , estamos usando ĵ.

¿Cuál es tu puesto cuando estás en el Coffee Cafe? Probablemente sentado, ¿verdad? Sí, pero ¿cuál es tu vector de posición? Es 2î + 2ĵ.

Uso de flechas para el vector de posición

También podríamos usar las letras A , B y C para etiquetar las paradas de su viaje. El hogar podría tener la etiqueta O para ‘origen’.

Es habitual usar ⃗r para el vector de posición y para dibujar una flecha desde el origen O a un punto en el espacio como A , B , o C . Tenemos tres vectores de posición en este ejemplo, que puede ver en el siguiente gráfico:

Gráfico 2

Para distinguir uno del otro usaremos subíndices. Por lo tanto, el vector de posición de A con respecto al origen es ⃗r A . Por supuesto, a su amigo entusiasta de las matemáticas le gustaría su posición en términos de vectores unitarios. Aquí están esos tres vectores de posición:

Digamos que su amigo llama mientras su posición es ⃗r = 3î + 2ĵ. ¿Dónde estás?

Si dijiste ‘a medio camino entre Bagel Bakery y Coffee Cafe’, estás en lo cierto. ¡Usar vectores de posición es casi tan divertido como tomar un café al aire libre!

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Una forma precisa de expresar una posición es utilizar un vector de posición , que es la representación de un punto dentro de un espacio dado en relación con un punto de origen. Gráficamente, el vector de posición se dibuja como una flecha desde el origen hasta un punto en el espacio. Matemáticamente, un vector de posición se expresa con vectores unitarios, recordando que las unidades son pies, millas o cualquier unidad de medida conveniente. Recuerde que en la elaboración de un mapa basado en vectores de posición, este es positivo x y el Oeste es negativo x , aunque positivo y será al norte y negativa yestá al sur. Esto mantiene las cosas consistentes y simples con las direcciones basadas en la brújula, sin dejar de ser matemáticamente consistente. También recuerde que es habitual utilizar un r con una flecha encima de él en el vector de posición y para dibujar una flecha desde el origen O a un punto en el espacio, como A , B , o C . Ahora debería estar armado con todas las habilidades que necesita para describir su propio vector de posición.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador