¿Qué es el volumen?
¿Has visto alguna vez un concurso de comida? Puede ser algo asqueroso. Pero, lo que siempre me sorprende es cuando ganan personas aparentemente delgadas. ¿Cómo puede alguien meter tanta comida en un estómago tan pequeño? Es una cuestión de volumen. El volumen es la capacidad de un objeto o cuánto espacio ocupa. Un concurso de alimentación pone a prueba el volumen del estómago humano. En esta lección, no vamos a probar los límites del estómago de nadie, pero vamos a aprender sobre las fórmulas de volumen para algunas formas comunes.
Cilindros
Un cilindro es básicamente como una gran pila de círculos. Imagina que tienes una ficha de póquer. Entonces, empiezas a ganar y tienes un montón de fichas. Si los apila, ha creado un cilindro. Esto debería ayudarlo a recordar la fórmula del volumen.
El volumen de un cilindro es pi * r ^ 2 * h , donde r es el radio del círculo en el extremo del cilindro. ¿Qué parece familiar allí? Pi * r ^ 2: esa es el área de un círculo. Y, si tuvieras solo una ficha de póquer perfectamente plana, su área sería pi * r ^ 2. Pero, como eres un jugador de pelota, tienes una pila. Entonces, toma la fórmula del área y la multiplica por la altura de sus fichas.
Probemos algunos ejemplos. A continuación se muestra una lata de un refresco nuevo, MegaSurge. El refresco de color amarillo neón no solo contiene 10 veces más cafeína que el refresco normal, sino que también viene en una lata de gran tamaño. Pero, ¿cuánta soda contiene? Mides el ancho de la parte superior, que es el diámetro del círculo, y mide 6 pulgadas. Entonces el radio, que es la mitad del diámetro, es de 3 pulgadas. ¿Y qué tan alto es? 9 pulgadas. Usemos nuestra fórmula de volumen: pi * r ^ 2 * h . Pi * 3 ^ 2 * 9. Eso es aproximadamente 254 pulgadas cúbicas. ¡Eso es mucha soda!
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Bien, aquí hay otro. Después de beber ese refresco, decide que necesita volver a comer alimentos más saludables, por lo que visita la granja de su tía para comprar verduras frescas, huevos y otras cosas buenas. Tiene un silo de cereales. Quieres saber qué tan alto es. Ella le dice que contiene 3,141 pies cúbicos de grano cuando está lleno. Entonces, conoces su volumen. Y el radio es de 5 pies. ¿Qué tan alto es? ¡Usemos nuestra fórmula! 3141 = pi * 5 ^ 2 * x . 3141 = 79 x . x = 40, por lo que mide unos 40 pies de altura.
Volumen: descripción científica y ejemplos
Conos
Resulta que tu tía usa ese grano para alimentar a sus vacas y usa la leche de sus vacas para hacer helado. Tu tía es genial. Y ahora quieres saber cuánto helado puedes meter en tu cono. Cuanto más helado pueda empacar en el cono, más feliz estará si la bola de encima se cae o, ya sabe, se come demasiado rápido.
El volumen de un cono es 1/3 * pi * r ^ 2 * h , donde r es el radio del círculo en el extremo ancho del cono. Observe cómo esto es lo mismo que la fórmula del cilindro. Solo hay un tercio extra. ¿Para qué es eso? Bueno, un extremo es un círculo y el otro es un punto. Entonces, hay 1/3 del volumen de un cilindro. En otras palabras, necesitaría 3 conos en forma de cono para que coincida con el volumen de 1 cono en forma de cilindro. Tal vez esas personas con los conos de pastel estén en algo.
Pero, hablemos del cono que tienes. Tiene 5 pulgadas de alto y 2 pulgadas en la parte superior. Recuerde que 2 pulgadas es el diámetro. Eso significa que el radio es de 1 pulgada. De acuerdo, la fórmula: 1/3 * pi * r ^ 2 * h . Eso es 1/3 * pi * 1 ^ 2 * 5, lo que equivale a un poco más de 5 pulgadas cúbicas. Eso no es mucho helado.
Entonces, convences a tu tía para que haga conos de waffle, que son más grandes, pero ¿cuánto más grandes? Haces un cono de gofre que mide 8 pulgadas de alto y 5 pulgadas en la parte superior. Entonces, su radio es de 2.5 pulgadas. ¿Cuál es el volumen que puede contener? 1/3 * pi * r ^ 2 * h . Eso es 1/3 * pi * 2.5 ^ 2 * 8, o un poco más de 52 pulgadas cúbicas. ¡Eso es aproximadamente 10 veces el helado! Ese es un gran cono de galleta.
Esferas
Quizás deberías hacer algo de ejercicio después de todo ese helado y jugar baloncesto. Decides impresionar a tus amigos con tus increíbles habilidades geométricas al explicarles cuánto aire cabe en la pelota de baloncesto. Pero espera, el baloncesto es una esfera. ¿Cuál es la fórmula para eso?
Volumen Específico: Fórmula y ejemplos
El volumen de una esfera es 4/3 * pi * r ^ 3, donde r es el radio de la esfera. ¿De donde viene esto? Bueno, podría simplemente decirte «cálculo», pero eso no te ayudaría a recordarlo. Pero, si recuerda que el área de la superficie de una esfera es 4 * pi * r ^ 2, puede recordar que el volumen está relacionado con el área de la superficie. Las otras fórmulas de volumen que hemos estado discutiendo involucran 3, por lo que si agrega algunos 3 a la fórmula del área de superficie, obtiene 4/3 * pi * r ^ 3.
Ese 4/3 es definitivamente inusual, que es lo opuesto a las esferas. ¡Las esferas están por todas partes! Son tan pequeños como los pequeños guisantes del jardín y tan grandes como la Estrella de la Muerte en Star Wars . Sin esferas, no habría béisbol, fútbol, tenis o golf. Bueno, tampoco habría Tierra, lo cual es algo importante.
Pero, volvamos al baloncesto. Todo lo que necesita saber es su radio o diámetro. Sabes que el diámetro es de 9 pulgadas, por lo que su radio es de 4,5 pulgadas. ¡A la fórmula! 4/3 * pi * r ^ 3. 4/3 * pi * 4.5 ^ 3. Eso es aproximadamente 382 pulgadas cúbicas.
Tus amigos están impresionados. De hecho, uno te pide que le ayudes con su proyecto científico. Está construyendo un modelo del sistema solar y está tratando de comprender la diferencia de tamaño entre los planetas. Su experimento de helado le hace pensar que el volumen puede ser una buena forma de ayudar.
Él sabe que el diámetro de la Tierra es de aproximadamente 7,900 millas, el diámetro de Marte es de aproximadamente 4,200 millas y el diámetro de Júpiter es de aproximadamente 89,000 millas. Pero, ¿qué significa eso en volumen? Bien, primero, convierta todo eso en radios. El radio de la Tierra es de 3.950 millas. Con Marte, son 2100 millas. Y el de Júpiter tiene 44.500 millas. Analicemos esa fórmula de volumen: 4/3 * pi * r ^ 3.
¿Qué es el volumen específico? – Definición, Fórmula y Unidades
Primero, la Tierra: 4/3 * pi * 3950 ^ 3 = 258 mil millones de millas cúbicas. ¡Eso es mucho!
Luego, Marte: 4/3 * pi * 2100 ^ 3 = 39 mil millones de millas cúbicas. Eso es mucho más pequeño.
¿Y Júpiter? 4/3 * pi * 44,500 ^ 3 = 369 billones de millas cúbicas! ¡Eso significa que más de 1000 Tierras podrían caber dentro de Júpiter! Tu amigo necesitará un modelo más grande.
Resumen de la lección
Aprendimos sobre 3 formas únicas. Primero, cilindros, como la lata de MegaSurge o el silo. La fórmula para el volumen de un cilindro es pi * r ^ 2 * h . En segundo lugar, miramos los conos mientras comíamos helado. La fórmula para el volumen de un cono es 1/3 * pi * r ^ 2 * h . Finalmente, miramos esferas, como una pelota de baloncesto y los planetas. La fórmula para el volumen de una esfera es 4/3 * pi * r ^ 3.
Los resultados del aprendizaje
Después de revisar esta lección, tendrá la capacidad de:
- Identificar las fórmulas de volumen para cilindros, conos y esferas.
- Resuelva problemas de ejemplo del mundo real usando estas fórmulas
- Explica por qué las fórmulas de volumen para estas tres formas son diferentes.
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