Relación de Superficie a Volumen: Fórmula y cálculo

Superficie y volumen

En matemáticas, el área de la superficie de un objeto tridimensional es el área total de su superficie. Dado que el área de la superficie es un área, se mide en unidades cuadradas, por ejemplo, pulgadas cuadradas, metros cuadrados, pies cuadrados, etc.

Por ejemplo, un cuboide (o caja rectangular) tiene seis caras: los lados superior e inferior, el lado izquierdo y derecho, y el frente y la parte posterior. El área de superficie de un cuboide es la suma de las áreas de estas seis caras. El cuboide de abajo tiene un área de superficie de 52 centímetros cuadrados, como se calcula en la tabla.

Lado	Zona
Cima	12 cm cuadrados
Fondo	12 cm cuadrados
Izquierda	6 cm cuadrados
Derecha	6 cm cuadrados
Parte delantera	8 cm cuadrados
atrás	8 cm cuadrados
Total	52 cm cuadrados

El volumen de un objeto tridimensional es la cantidad total de espacio ocupado por el objeto. El volumen se mide en unidades cúbicas, por ejemplo, pulgadas cúbicas, metros cúbicos, pies cúbicos, etc.

Para un cuboide, el volumen se calcula multiplicando su longitud por su ancho por su altura. El volumen del cuboide de arriba es {eq} 4 \ times 3 \ times 2 = 24 {/eq} centímetros cúbicos.

Relación de área de superficie a volumen

La relación superficie / volumen es la relación SA: V. Los diferentes tipos de objetos (cuboides, esferas, tetraedros, etc.) tendrán diferentes proporciones de superficie a volumen.

Cómo calcular la relación entre el área de la superficie y el volumen

Es interesante calcular la relación entre el área de la superficie y el volumen de diferentes objetos mediante el uso de fórmulas genéricas para esos objetos.

Por ejemplo, para un cubo, las fórmulas de área de superficie y volumen son {eq} SA = 6s ^ 2 {/eq} y {eq} V = s ^ 3 {/eq}, donde {eq} s {/eq} es la longitud de un lado. Por lo tanto, la relación entre el área de la superficie y el volumen es

{eq} \ hspace {2em} \ displaystyle \ frac {SA} {V} = \ frac {6s ^ 2} {s ^ 3} = \ frac {6} {s} {/eq}.

Para una esfera, las fórmulas son {eq} SA = 4 \ pi r ^ 2 {/eq} y {eq} V = \ tfrac {4} {3} \ pi r ^ 3 {/eq}, donde {eq} r {/eq} es el radio de la esfera. Por lo tanto, la relación entre el área de la superficie y el volumen de una esfera viene dada por la fórmula

{eq} \ hspace {2em} \ displaystyle \ frac {SA} {V} = \ frac {4 \ pi r ^ 2} {\ tfrac {4} {3} \ pi r ^ 3} = \ frac {3} {r} {/eq}.

Para un tetraedro regular, las fórmulas son {eq} SA = \ sqrt {3} a ^ 2 {/eq} y {eq} V = \ tfrac {a ^ 3} {6 \ sqrt {2}} {/eq} , donde {eq} a {/eq} es la longitud de un borde. Por lo tanto, la relación entre el área de la superficie y el volumen es

{eq} \ hspace {2em} \ displaystyle \ frac {SA} {V} = \ frac {\ sqrt {3} a ^ 2} {\ tfrac {a ^ 3} {6 \ sqrt {2}}} = \ frac {6 \ sqrt {6}} {a} {/eq}.

Importancia de la relación entre el área de la superficie y el volumen

La relación superficie / volumen es importante para la difusión celular, así como para la división celular. Para vivir, las células requieren nutrientes y oxígeno para pasar a la célula a través de su membrana celular y requieren que los desechos abandonen la célula en la dirección opuesta. La cantidad de difusión a través de la membrana en ambas direcciones está relacionada con el área de superficie de la célula, mientras que sus necesidades de nutrientes, oxígeno y eliminación de desechos están relacionadas con su volumen. Por tanto, la relación entre el área de la superficie y el volumen es muy importante. Si es demasiado pequeño, la célula morirá.

A medida que una célula crece, tanto su área de superficie como su volumen aumentan, pero su volumen aumenta más rápido. Por lo tanto, la relación entre el área de la superficie y el volumen disminuye a medida que la celda se hace más grande. En cierto punto, esta proporción se vuelve tan pequeña que la célula no puede vivir. Antes de que se alcance este punto, la celda debe dividirse, lo que dará como resultado una mayor área de superficie total y, por lo tanto, devolverá la relación de área de superficie a volumen a un nivel aceptable.

Resumen de la lección

El área de la superficie de un objeto tridimensional es el área total de su superficie. El volumen de un objeto tridimensional es la cantidad total de espacio ocupado por el objeto.

La relación superficie / volumen es la relación SA: V. Los diferentes tipos de objetos (cuboides, esferas, tetraedros, etc.) tendrán diferentes proporciones de superficie a volumen.

A medida que una célula crece, su relación de superficie a volumen disminuye. En cierto punto, esta proporción se vuelve tan pequeña que la célula no puede vivir, por lo que la célula debe dividirse antes de alcanzar este punto para devolver la proporción de área de superficie a volumen a un nivel aceptable nuevamente.