Sistemas No Lineales: Definición, funciones y ecuaciones

¿Qué son los sistemas no lineales?

La definición de sistema no lineal en matemáticas es un grupo de ecuaciones donde la variable aparece al menos una vez con una potencia que es cualquier número excepto 1. La potencia de la variable puede ser 2, negativa o una fracción. Si todas las variables tienen una potencia de 1 y siempre se multiplican por constantes, entonces el sistema se llama sistema lineal . Los siguientes son ejemplos de un sistema lineal y un sistema no lineal:

• sistema lineal
  
  • {eq}y = 2x + 3 \\ y = -\frac{x}{4} – 1 {/eq}
• Sistema no lineal
  
  • {eq}x^2 + 2y^2 = 1 \\ x + y = 1 {/eq}

El sistema lineal tiene una potencia de 1 para la variable x cada vez que aparece. Por otro lado, el sistema no lineal tiene una potencia de 2 para la variable x en la primera ecuación. Debido a que la variable se ve con una potencia distinta de 1, el sistema se vuelve no lineal incluso si todas las demás variables x tienen una potencia de 1.

Identificar si un sistema de ecuaciones es lineal o no lineal es importante en matemáticas porque los sistemas lineales generalmente se pueden resolver con métodos sencillos y bien estudiados, mientras que los sistemas no lineales pueden resolverse o no. Los métodos sencillos no siempre funcionan para resolver sistemas no lineales. Esto se aplica tanto a ecuaciones simples como a otros tipos de ecuaciones matemáticas, como las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones diferenciales lineales versus no lineales

Una ecuación diferencial es una ecuación o función matemática que incluye una derivada o diferencial de una variable. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial con una sola variable y una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación diferencial con dos o más variables.

Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial donde todas las variables y derivadas tienen una potencia de 1. Ninguna de ellas está en el denominador ni tiene potencias distintas de 1. Además, todas las variables y derivadas solo se multiplican por constantes. Una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial donde al menos una de las derivadas o variables de la ecuación tiene una potencia que no es 1 o está en el denominador. A continuación se muestran ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones diferenciales no lineales:

Ecuaciones diferenciales lineales

• {eq}x»’ + 3x» – x = 4 {/eq}
• {eq}x» + x’ + x = 1 {/eq}

Ecuaciones diferenciales no lineales

• {eq}(x’)^2 – 3x + 4 = 0 {/eq}
• {eq}xx’ + x’ = 1 {/eq}

Observe cómo las ecuaciones no lineales tienen una potencia distinta de 1 o la variable o una derivada multiplicada por algo distinto de una constante. Todas las ecuaciones lineales tienen potencias de 1 para todas las variables y derivadas, y todas también se multiplican por constantes.

Características de los sistemas no lineales

Los sistemas matemáticos no lineales se utilizan para representar eventos del mundo real, como sistemas sociales y ecológicos. Los sistemas no lineales deben tener al menos una función no lineal, pero pueden incluir funciones lineales que se aproximan a eventos del mundo real. Dichos sistemas permiten el estudio y la predicción de estos eventos mediante manipulación matemática. Ejemplos de funciones lineales y no lineales son los siguientes:

• {eq}x’ = ax – bxy ~ \text{(lineal)} {/eq}
• {eq}y’ = -dy + cxy ~ \text{(lineal)} {/eq}
• {eq}y’ = -\omega^2 \sin x + f(t) ~ \text{(no lineal)} {/eq}
• {eq}\theta» + \omega^2 \sin {\theta} = 0 ~ \text{(no lineal)} {/eq}

Las características de interés de los sistemas no lineales para los científicos son las condiciones iniciales, las propiedades emergentes y las propiedades de aditividad. Las condiciones iniciales pueden cambiar drásticamente el comportamiento de los sistemas no lineales. Un sistema no lineal puede no tener una solución basada en una condición inicial dada y al mismo tiempo tener una solución clara bajo una condición inicial dada diferente. Las propiedades emergentes de los sistemas no lineales incluyen eventos que aparecen en un sistema después de una nueva introducción. Por ejemplo, cuando las hojas de una planta crecen de manera diferente cuando se plantan en agua o en tierra, se trata de una propiedad emergente. Algunas propiedades emergentes pueden resultar sorprendentes. Los sistemas no lineales que tienen la propiedad de aditividad se pueden sumar matemáticamente entre sí. Los sistemas de aditivos se utilizan en diversos estudios, como las concentraciones de ozono atmosférico y la economía. Se debe verificar la aditividad de cada sistema antes de poder estudiarlo como un sistema aditivo. Existen algunos métodos para hacer esto, como el método de transformada de Fourier y el método RKHS. Se están desarrollando más a medida que los matemáticos continúan estudiando sistemas no lineales.

Tipos de sistemas no lineales

Dos tipos de sistemas no lineales son los sistemas no lineales continuos y los sistemas no lineales discretos. Una ola oceánica es un ejemplo de un sistema no lineal continuo, mientras que un diagrama de puntos es un ejemplo de un sistema no lineal discreto.

Sistema no lineal continuo

Un sistema no lineal continuo puede tener resultados dentro de un rango de valores. Una ola oceánica, por ejemplo, produce valores dentro de un rango. Una onda puede tener un rango entre -4 y 3 en el eje y . El sistema no lineal continuo, entonces, puede tener cualquier valor de y entre -4 y 3. Puede ser -3,99, 0, -2,8, 1,23 o 2,75, o cualquier otro número que esté dentro del rango indicado. Una nota importante aquí es que cualquier ecuación diferencial es continua porque una función debe ser continua para que sea derivable. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales continuas que pueden ser parte de un sistema no lineal:

• {eq}x^2 + 16(y’)^2 = 64 {/eq}

• {eq}(y’)^2 + y’ + x + 1 = 0 {/eq}

Sistema discreto no lineal

Un sistema no lineal discreto sólo puede tener valores específicos. Los diagramas de puntos y una colección de puntos específicos son ejemplos de sistemas no lineales discretos. Algunos eventos del mundo real no tienen una función matemática que se aproxime a su comportamiento. Más bien, al observar tales eventos, se toma una colección de lecturas o mediciones. Esta colección de puntos se convierte en el sistema no lineal discreto.

Por ejemplo, la cantidad de estrellas fugaces visibles para el ojo humano en Dakota del Norte durante la lluvia de meteoritos de las Perseidas por cada hora es una colección de mediciones que conforman el sistema no lineal discreto. Como los sistemas discretos no tienen funciones, no existen ejemplos de ecuaciones diferenciales. Además, las variables en un sistema no lineal discreto se relacionan con cada punto de datos del sistema. Cada variable tiene un valor distinto para cada punto de datos. No existe un rango de valores posibles.

Aplicaciones de sistemas no lineales

Los sistemas no lineales tienen muchas aplicaciones en álgebra no lineal y dinámica no lineal. Algunos ejemplos de aplicaciones del mundo real son:

• El crecimiento de la población está modelado por la tasa de natalidad, la tasa de mortalidad y la presencia de depredadores.
• Estudiar la forma en que se mueven los fluidos es un proyecto en curso debido a su no linealidad y sus complejas formas de movimiento.
• Los ingenieros utilizan sistemas no lineales para comprender el flujo de electricidad en un circuito.
• La economía utiliza sistemas no lineales para incluir cómo los humanos interactúan con las necesidades y demandas financieras.

Desafíos de los sistemas no lineales

Los sistemas no lineales son difíciles de resolver porque los métodos sencillos utilizados para resolver sistemas lineales no siempre funcionan para sistemas no lineales. Dos métodos que pueden funcionar para resolver algunos sistemas no lineales son los métodos de sustitución y eliminación. Además, incluso si algunos métodos pudieran funcionar, los sistemas no lineales pueden presentar un comportamiento emergente que no es predecible. Además, diferentes condiciones iniciales pueden hacer que el mismo sistema no lineal tenga solución o no.

Ejemplos de sistemas no lineales

Cualquier evento que involucre organismos vivos es un ejemplo de sistema no lineal en el mundo real porque los organismos vivos son impredecibles por naturaleza y pueden cambiar para adaptarse a las circunstancias cambiantes que los rodean. Ejemplos incluyen:

• La población de salmón es un sistema no lineal que involucra la tasa de natalidad, la tasa de mortalidad, los depredadores, la agricultura humana y el clima cambiante en los océanos del mundo. Todo esto puede cambiar la población con solo un pequeño cambio.
• La posibilidad de que se produzca una recesión o una depresión es un sistema no lineal, ya que depende de muchos factores que no se pueden controlar, como las tasas financieras, las tasas de empleo, las expectativas sociales y los acontecimientos mundiales.

Resumen de la lección

En resumen, un sistema no lineal es un grupo de ecuaciones donde la variable ocurre al menos una vez con una potencia que no es 1. Si todas las variables ocurren con una potencia de 1 y solo 1, entonces el sistema se llama sistema lineal . Identificar sistemas lineales y no lineales es importante ya que los sistemas lineales son más sencillos de resolver. Se han realizado más investigaciones sobre sistemas lineales, con varios métodos disponibles para resolverlos. Los sistemas no lineales están menos investigados y no tienen métodos sencillos de resolver, y algunos pueden no tener solución. Los siguientes son los desafíos de resolver sistemas no lineales:

• Los métodos de resolución sencilla no siempre funcionan.
• El comportamiento emergente puede cambiar drásticamente las soluciones.
• Las condiciones iniciales pueden cambiar o incluso romper un sistema.

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones o funciones matemáticas que incluyen derivadas de la variable. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) incluye solo una variable, mientras que una ecuación diferencial parcial (EDP) incluye dos o más variables. Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que todas las derivadas tienen una potencia de 1. Si al menos una derivada tiene una potencia que no es 1, entonces es una ecuación diferencial no lineal . Estos pueden ser parte de sistemas no lineales. Estos sistemas se aproximan a eventos del mundo real. Algunos son sistemas continuos no lineales , lo que significa que tienen resultados dentro de un rango de valores. Otros son sistemas discretos no lineales , lo que significa que el sistema sólo produce resultados específicos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador