Sistema lineal en dos variables
Los sistemas lineales en dos variables son comunes en matemáticas. Los verá más y más a medida que avance. Son colecciones de dos ecuaciones con dos variables y sin exponentes. Hay varios métodos que puede utilizar para resolver estos sistemas.
Hablaremos sobre el método que usa matrices y determinantes en esta lección en video. Tómese un momento para refrescar su memoria, si lo necesita, sobre cómo crear matrices a partir de ecuaciones y también cómo encontrar los determinantes de matrices.
¿Qué tipo de problema espera resolver? Por ejemplo, los sistemas lineales en dos variables pueden resolver un problema como cuántos perros y gatos hay en una tienda de mascotas.
Supongamos que el dueño de una tienda de mascotas te dice que sabe que tiene un total de 50 perros y gatos, y sabe que cuando resta la cantidad de gatos de los perros obtiene 30. Bueno, puedes ayudarlo totalmente a averiguar cuántos gatos y perros que tiene al crear este sistema lineal en dos variables:
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La primera ecuación te dice que cuando sumas el número de gatos y perros, obtienes un total de 50. La segunda ecuación te dice que cuando restas el número de gatos de perros obtienes 30. Este es tu sistema.
Regla de Cramer
Para ayudarlo a resolver este sistema, podemos utilizar la regla de Cramer. La regla de Cramer te dice cómo puedes resolver el sistema lineal trabajando solo con determinantes. Primero, crea su matriz de coeficientes, que incluye solo los coeficientes en el lado izquierdo de las ecuaciones. Luego encuentra el determinante de esta matriz.
Vamos a llamar a este determinante D . Luego, para cada variable, toma su matriz de coeficientes y sustituye los números constantes, que son los números del lado derecho de la ecuación, en cada columna.
Entonces, para la variable c , sustituye los números constantes en la primera columna de la matriz de coeficientes. Para la variable d , sustituye los números constantes en la segunda columna de la matriz de coeficientes.
Luego encuentra los determinantes de estas matrices. Para la variable c , llamaremos al determinante D sub c . Para la variable d , llamaremos al determinante D sub d .
Entonces, la solución se encuentra por división. El c solución es c = D sub c / D . El d solución es d = D sub d / D . Como tenemos dos variables, necesitamos encontrar tres determinantes: un determinante general y luego un determinante para cada variable.
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Encontrar los determinantes
Veámoslo en acción ahora. Primero creamos nuestra matriz de coeficientes:
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Al encontrar el determinante, obtenemos 1 * 1 – 1 * -1 = 1 + 1 = 2. Entonces, D = 2. Este es nuestro determinante general. Ahora necesitamos dos determinantes más, uno para cada variable. A continuación, para la variable c , sustituimos la primera columna con los números constantes de 50 y 30. Obtenemos esto para la matriz:
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Tomando el determinante, obtenemos 50 * 1 – 1 * 30 = 50 – 30 = 20. Entonces, D sub c es 20. Luego, sustituimos la segunda columna con los números constantes de 50 y 30 para encontrar D sub d . Obtenemos esto para la matriz:
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Tomando el determinante de esta matriz, obtenemos 1 * 30 – 50 * -1 = 30 + 50 = 80. Entonces, D sub d es 80. Ahora tenemos tres determinantes que necesitamos para resolver nuestro sistema. Entonces, recuerde, si tiene dos variables, necesita tres determinantes: uno general y luego uno para cada variable.
Encontrar la solución
Ahora, todo lo que tenemos que hacer para encontrar nuestra respuesta es dividir nuestros determinantes. El c solución es c = D sub c / D = 20/2 = 10. El d solución es d = D sub d / D = 80/2 = 40.
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Entonces, esto significa que tenemos 10 gatos y 40 perros en la tienda de mascotas. Hemos resuelto el problema con éxito y podemos decirle al dueño de la tienda de mascotas lo que encontramos.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Aprendimos que los sistemas lineales en dos variables son comunes en matemáticas. Son colecciones de dos ecuaciones con dos variables y sin exponentes. Puede usar la regla de Cramer para ayudarlo a resolver dicho sistema.
Para utilizar la regla de Cramer , primero se encuentre el determinante de la matriz de coeficientes, D . Luego, para cada variable, intercambia la columna correspondiente de la matriz de coeficientes con los números constantes.
Luego, encuentra el determinante de estas matrices. Obtendrá D sub x y D sub y , uno para cada variable. El x solución es entonces D sub x / D y la y solución es D sub y / D .
Los resultados del aprendizaje
Una vez finalizada esta lección, debería poder:
- Recuerda la regla de Cramer
- Identificar y resolver un sistema lineal en dos variables.
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