Definición
El cálculo de posibles resultados es un proceso para determinar el número de posibles resultados para un evento. Existen varios métodos para realizar este proceso. La mejor manera de calcular el número de posibles resultados de un evento depende del tipo de evento y la estructura del evento.
Se puede encontrar un ejemplo sencillo en los deportes. En cualquier juego de béisbol, hay dos resultados posibles: el equipo A gana o el equipo B gana. Sin embargo, un problema de posibilidad puede ser mucho más complejo que determinar el número de posibles ganadores de una competición atlética entre dos equipos.
En esta lección, discutiremos cómo se usa el principio de conteo fundamental para contar el número de resultados posibles para múltiples eventos y para contar el número de permutaciones para un grupo distinto de objetos.
Principio fundamental de conteo: eventos múltiples
Digamos que queremos pedir un cono de helado en una heladería local. La tienda ofrece cuatro sabores de helado (vainilla, chocolate, pistacho y menta) y dos tipos de conos (regular y canela). Necesitamos determinar cuántos tipos diferentes de conos de helado podemos pedir. Una forma de resolver nuestro problema es crear un diagrama de árbol.
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Hay cuatro posibilidades para elegir un sabor de helado. Una vez que elegimos un sabor de helado, debemos elegir un cono. Hay dos conos posibles para elegir, por lo que hay dos combinaciones posibles con cada sabor. Por lo tanto, el número posible de conos de helado es 4 x 2 = 8. También podemos ver esto en el diagrama de árbol.
Solo usamos el principio fundamental de conteo . Este principio establece que si hay p posibilidades para un evento y q posibilidades para un segundo evento, entonces el número de posibilidades para ambos eventos es p x q . Podemos agregar eventos adicionales a esta fórmula. Digamos que también podemos elegir una cobertura para nuestro cono de helado entre tres opciones de coberturas. Entonces, el número posible de conos de helado es 4 x 2 x 3 = 24.
Un ejemplo famoso del principio de conteo fundamental es la posible combinación de letras y números para la matrícula de un vehículo. Por supuesto, cada estado tiene su propia política para la cantidad y los tipos de caracteres que se pueden colocar en una placa emitida en ese estado respectivo. Digamos que nuestro plato tiene cuatro números y dos letras similares al plato de Nueva York que se muestra. Primero vienen los números y luego las letras.
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Los números pueden variar de 0 a 9 y las letras pueden ser cualquier letra del alfabeto. Hay 10 resultados posibles para cada uno de los primeros cuatro personajes y 26 resultados posibles para cada uno de los dos últimos personajes. Usando el principio de conteo fundamental, la combinación posible de números y letras en nuestra placa de matrícula es 10 x 10 x 10 x 10 x 26 x 26 = 6,760,000. Imagínense usando un diagrama de árbol para resolver este problema.
Principio fundamental de conteo: permutaciones
Una permutación es una disposición u ordenación de un conjunto de objetos. Digamos que tenemos una carrera de seis caballos y que necesitamos colocar estos caballos en la puerta de salida. Queremos determinar cuántos arreglos de los seis caballos son posibles.
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Hay seis caballos posibles que podemos elegir para poner en el primer establo. Después de seleccionar uno de los caballos para el primer puesto, quedan cinco caballos para su selección en el segundo puesto. Por lo tanto, cada caballo que pueda estar en el primer puesto puede ser seguido por cualquiera de los cinco caballos restantes. De acuerdo con el principio de conteo fundamental, hay 6 x 5 = 30 permutaciones de caballos para los dos primeros puestos. Pero aún tenemos que arreglar el resto de los caballos. Para el tercer puesto, quedan 4 caballos para elegir y así sucesivamente. Este patrón continúa hasta que todos los caballos se colocan en los puestos de la puerta de salida. El número total de permutaciones de los seis caballos es 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
El problema de la puerta de salida es muy similar a nuestros ejemplos anteriores, excepto que seguimos seleccionando del mismo conjunto de objetos, de los cuales hay uno menos para elegir después de cada selección.
Si necesitamos organizar solo una parte de un conjunto de objetos, ordenamos el número de objetos que se han dirigido. Digamos que tenemos siete plantas distintas, pero solo necesitamos colocar tres de estas plantas en un estante. Tenemos siete posibilidades para el primer lugar en la estantería. Para el segundo lugar en la estantería, solo tenemos seis posibilidades porque ya se ha elegido una de las plantas. Finalmente, tenemos cinco posibilidades para el tercer puesto. Nuestra respuesta final es 7 x 6 x 5 = 210. Hay 210 formas posibles de organizar 3 plantas seleccionadas de un conjunto de 7 plantas distintas.
Resumen de la lección
El principio fundamental de conteo es la regla principal para calcular el número de resultados posibles. Si hay p posibilidades para un evento y q posibilidades para un segundo evento, entonces el número de posibilidades para ambos eventos es p x q . Si se suma un tercer evento como r , entonces el número de posibilidades para los tres eventos es p x q x r . Esta fórmula se puede extender a tantos eventos como sea necesario. El principio fundamental de conteo también es útil para determinar el número de posibles permutaciones de un conjunto de objetos. Una permutaciónes un arreglo u ordenamiento de un conjunto de objetos. Podemos pensar en cada evento como el número restante de objetos que están disponibles para organizar.
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