Composición de funciones
Supongamos que tenemos dos funciones, digamos f ( x ) = x ^ 2 y g ( x ) = x + 3. Podemos formar una nueva función, llamada su composición , poniendo una función dentro de la otra. Veamos qué sucede cuando intentamos poner g ( x ) dentro de f ( x ).
En lugar de insertar una x en la función f ( x ), ingresaremos g ( x ) y la escribiremos como f (g ( x )). Cuando esté componiendo funciones, siempre debe recordar trabajar desde adentro hacia afuera. Como sabemos que g ( x ) = x + 3, podemos sustituir eso en. Por lo tanto, f (g ( x )) = f ( x + 3). Para terminar nuestra composición, usamos el hecho de que f ( x ) = x ^ 2 para evaluar f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2. ¡Ya terminamos! Por lo tanto, f (g ( x )) = f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2.
Ahora, podría estar pensando, «¿Cómo evaluó f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2?» Aquí hay un truco ingenioso que uso para hacer esto correctamente. Primero, escribo f ‘( x ) = x ^ 2. Luego, dondequiera que vea una x , escribo un paréntesis vacío. Entonces escribiría, f () = () ^ 2. Ahora veo que lo que sea que tenga reemplazando la x en el interior de f ( x ), quiero escribir que en todas partes tengo paréntesis vacíos. Así es como obtenemos f ( x + 3) = ( x + 3) ^ 2.
Otro ejemplo de función compuesta
Veamos otro ejemplo de función compuesta.
Suponga que f ( x ) = x – 5 y g ( x ) = x ^ 2 + x . Encontremos g (f ( x )).
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Recuerda, ¡tenemos que trabajar de adentro hacia afuera! Primero sustituyamos por f ( x ). Obtenemos g (f ( x )) = g ( x – 5).
Ahora, si te gusta mi truco de escribir el paréntesis vacío, podemos hacerlo y obtener g () = () ^ 2 + (). Reemplazando x – 5, obtenemos g ( x – 5) = ( x – 5) ^ 2 + x – 5. Si quisiéramos simplificar esta expresión, obtendríamos lo siguiente: ( x – 5) ^ 2 + x – 5 = ( x – 5) ( x – 5) + x – 5 = x ^ 2-5 x – 5 x + 25 + x – 5 = x ^ 2-9 x + 20.
Por lo tanto, g (f ( x )) = g ( x – 5) = x ^ 2-9 x + 20.
También podríamos encontrar g (f ( x )). Para este, vemos, f (g ( x )) = f ( x ^ 2 + x ) = x ^ 2 + x – 5. Observe que g (f ( x )) ≠ f (g ( x )). Por lo tanto, es importante que compongamos nuestras funciones en el orden correcto.
Composición de tres o más funciones
Hasta ahora, hemos estado analizando la composición de dos funciones. ¿Solo funciona con dos funciones? ¿Podemos componer tres funciones? ¿Qué hay de cuatro funciones? ¿Qué hay de 3.456.193 funciones?
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Podemos componer tantas funciones como queramos. Veamos un ejemplo.
Suponga que f ( x ) = 2 x + 1, g ( x ) = x ^ 2 + x , h ( x ) = 3 x . Encuentre f (g (h ( x ))).
Recuerde, cuando evaluamos la composición de funciones, tenemos que trabajar de adentro hacia afuera. Por lo tanto, f (g (h ( x ))) = f (g (3 x )) = f ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) = 2 ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) + 1. Simplificando esta expresión, obtenemos:
2 ((3 x ) ^ 2 + 3 x ) + 1 = 2 (9 x ^ 2 + 3 x ) + 1 = 18 x ^ 2 + 6 x + 1. Por lo tanto, f (g (h ( x ))) = 18 x ^ 2 + 6 x + 1.
De funciones compuestas a funciones independientes
¿Qué harías si alguien te diera una función compuesta y te pidiera que trabajes al revés? Es decir, si se le diera una función compuesta, ¿podría determinar qué funciones se compusieron inicialmente entre sí para crear la función dada?
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Suponga que alguien le dio la función h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2 y le pidió que encontrara dos funciones – f ( x ), g ( x ) – tales que h ( x ) = f (g ( x ) ).
Para descomponer una función compuesta, es útil reconocer primero una posible función interna que puede haber sido la función que conectamos a la otra. En este caso, nuestra función interna será g ( x ), ya que esa está en la barriga de f ( x ). Mirando h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2, decidimos que 3 x – 5 podría ser nuestra función interna. ¡Excelente!
Ahora, elijamos nuestra función externa, que en este caso es f ( x ). Para encontrar f ( x ), simplemente mire h ( x ) = (3 x – 5) ^ 2, cubra la función interna en todas partes donde vea la función interna con su mano, luego escriba lo que vea y ponga una x en todas partes tu mano es. Al realizar con éxito este proceso, deberíamos encontrar que f ( x ) = x ^ 2.
La mejor parte de descomponer una función compuesta es que siempre podemos verificar nuestra respuesta para ver si es correcta. ¡Vamos a comprobarlo! Vemos f (g ( x )) = f (3 x – 5) = (3 x – 5) ^ 2 = h ( x ). ¡Fantástico! Nuestras elecciones fueron correctas.
¿Qué pasaría si tu amigo dijera: «Elegí que mi función interna fuera g ( x ) = 3 x «? ¿Tu amigo ha tenido un mal comienzo y está a punto de estrellarse y quemarse? ¡De ningún modo!
Si elige g ( x ) = 3 x , entonces podemos repetir el mismo proceso que antes y cubrir el 3 x con nuestra mano y reescribir las partes restantes de la función mientras escribimos una x donde está nuestra mano. Entonces encontraríamos f ( x ) = ( x – 5) ^ 2. Podemos verificar esta respuesta y ver que f (g ( x )) = f (3 x ) = (3 x – 5) ^ 2 = h ( x ), que es exactamente lo que queríamos.
Por lo tanto, al descomponer funciones compuestas, es posible que tenga varias respuestas correctas.
Resumen de la lección
Recuerde, cuando se le pida que encuentre la composición de funciones, trabaje de adentro hacia afuera. Da un paso a la vez y estarás bien.
Cuando se le da una función compuesta y se le pide que trabaje al revés:
- Primero, encuentre una función interna.
- Luego, use el truco para cubrir la mano para encontrar correctamente la función externa.
- Finalmente, ¡regocíjate! ¡Lo hiciste!
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