Opciones
¡Elecciones! ¿Comprar el bizcocho ya preparado o hornearlo con ingredientes fundamentales como harina, huevos y leche? El problema puede ser el tiempo o la disponibilidad. Tal vez la tienda esté cerrada, o tal vez no haya tiempo para hornear un pastel desde cero.
A menudo existen opciones similares en matemáticas: use una fórmula u obtenga la respuesta a partir de ideas más simples. En esta lección, calcularemos la distancia de un punto a una línea usando una fórmula, y también determinaremos esta distancia usando ideas y ecuaciones fundamentales. Al igual que con un pastel, ¿los resultados serán los mismos?
El punto y la línea
Imagina una línea y un punto en un espacio bidimensional.
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Fuerzas intermoleculares: definición, tipos y punto de ebullición
Podríamos estar calculando la distancia desde una carretera hasta una dirección o la distancia desde la línea de la zona de anotación hasta la ubicación de un jugador en el campo. En todos estos casos, tenemos la ecuación de una línea y las coordenadas de un punto.
Para nuestro ejemplo, la ecuación de la línea es y = (1/2) x – 1 y el punto ( x 1, y 1) está ubicado en el punto (2, 3).
Usar una fórmula para obtener la distancia
Tener la ecuación de la línea en la forma a x + b y + c = 0 y conocer las coordenadas del punto nos da la distancia desde el punto a la línea usando la fórmula:
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Fórmula de distancia entre dos puntos y ejemplos
¿Qué pasa si la ecuación de la recta tiene alguna otra forma? Esta es la situación en nuestro ejemplo donde la línea y = (1/2) x – 1 está en forma pendiente-intersección . Convirtamos a la forma a x + b y + c = 0. Primero, multiplica ambos lados de la ecuación por 2 para obtener 2 y = x – 2.
Luego, transfiera todos los términos al mismo lado y organice la ecuación de modo que el término x sea el primero: x – 2 y – 2 = 0.
Comparando esta ecuación con a x + b y + c = 0, identificamos: a = 1, b = -2 y c = -2. La ubicación del punto dice que x 1 es 2 y y 1 es 3. Sustituyendo en la fórmula para la distancia:
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Punto de Equilibrio Económico: Qué es, Características y Ejemplos
¿Y si esta fórmula de distancia no estuviera disponible? ¿Podríamos determinar la distancia usando algunas ideas de geometría y álgebra? Es como hornear con ingredientes fundamentales como alternativa a la compra del producto de la tienda ya preparado. Para practicar, hagamos esto. Lo tomaremos un ingrediente a la vez.
Distancia sin fórmula
¡Esto será divertido! Primero, visualice una línea perpendicular a nuestra línea. La línea perpendicular forma un ángulo recto (90 ° ) con nuestra línea. Además, queremos que la línea perpendicular pase por el punto ( x 1, y 1).
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La siguiente idea es escribir la ecuación de esta línea perpendicular. Usamos la forma pendiente-punto de una línea: y – y1 = m ( x – x1). ¡Muy conveniente! Conocemos un punto en la línea perpendicular: ( x 1, y 1). ¿Qué pasa con la pendiente ‘m’? La pendiente ‘m’ es el recíproco negativo de la línea de ejemplo. La pendiente de la línea de ejemplo es ½. El recíproco negativo de ½ es -2. Sustituyendo en y – y1 = m ( x – x1) da: y – 3 = -2 ( x – 2).
¡Nos estamos acercando mucho! La línea perpendicular cruza la línea del ejemplo en ( x 2, y 2).
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Para encontrar este cruce, resolvemos para x y y en las dos ecuaciones: x – 2 y – 2 = 0 y Y – 3 = -2 ( x – 2).
De x – 2 y – 2 = 0, podemos escribir x = 2 y + 2.
Sustituyendo el lado derecho, 2 y + 2, por x en y – 3 = -2 ( x – 2) da: y – 3 = -2 (2 y + 2 – 2) = -2 (2 y + 0 ) = -4 y . Ahora tenemos y – 3 = -4 y .
Resolviendo y – 3 = -4 y para y da: y + 4 y = 3 y luego 5 y = 3 y finalmente y = 3/5 = 0.6. Este es el valor de y 2.
Para encontrar x 2, sustituya y = 3/5 en x = 2 y + 2, lo que nos da x = 2 (3/5) + 2 = 6/5 + 10/5 = 16/5 = 3.2.
Por lo tanto, el punto de cruce ( x 2, y 2) es (3.2, 0.6).
La distancia del punto a la línea es la distancia entre ( x 1, y 1) y ( x 2, y 2):
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Encontramos esta distancia entre dos puntos usando la ecuación de distancia :
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Esta es la misma distancia que antes. Parece que puedes comprarlo en la tienda o hacerlo a mano.
Resumen de la lección
Una fórmula para la distancia de un punto a una línea se escribe en términos de las constantes ‘a’, ‘b’ y ‘c’, y las coordenadas ( x 1, y 1) del punto. Las constantes se identifican a partir de la ecuación de la línea escrita en la forma a x + b y + c = 0. Si una ecuación lineal tiene alguna otra forma, como la forma pendiente-intersección o la forma pendiente-punto , primero se convierte a la forma a x + b y + c = 0. La distancia de un punto a una línea también se puede encontrar determinando la ecuación para la línea perpendicular que pasa por ( x 1, y1) y encontrar las coordenadas del punto de cruce ( x 2, y 2). La ecuación de distancia calcula la distancia entre los puntos ( x 1, y 1) y ( x 2, y 2). El resultado es idéntico a la fórmula de la distancia.
Continua con:
- Punto de Equilibrio Económico: Qué es, Características y Ejemplos
- Encontrar constantes de velocidad y ordenar reacciones: gráfico y ley de velocidad
- Fuerzas intermoleculares: definición, tipos y punto de ebullición
- Punto de Vista: Definición, ejemplos y tipos
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